Badeforhæng med Smith Chart – elektromagnetisk Science design

Smith Chart – når elektromagnetiske bølger bliver til geometri

En elektromagnetisk bølge bevæger sig gennem en transmissionslinje.

Den når enden.

Hvad sker der så?

Det afhænger af:

impedansen.

Hvis belastningen passer perfekt til transmissionslinjen, kan energien overføres uden refleksion.

Hvis den ikke gør:

sendes en del af bølgen tilbage.

Det er denne verden, Smith Chart gør synlig.

Fra elektromagnetisme til diagram

Smith Chart blev udviklet af den amerikanske ingeniør Phillip H. Smith i 1930’erne.

Formålet var praktisk.

Ingeniører arbejdede med:

radio,

antenner,

transmissionslinjer

og højfrekvente elektromagnetiske signaler.

Beregningerne involverede komplekse tal og kunne være tidskrævende.

Smith fandt en måde at omsætte dem til:

geometri.

Elektromagnetiske bølger

Radio, Wi-Fi, radar, mobilkommunikation og mikrobølgesignaler er forskellige anvendelser af:

elektromagnetiske bølger.

Elektriske og magnetiske felter varierer i tid og rum og kan transportere:

energi og information.

Maxwells ligninger beskriver den fundamentale fysik bag disse felter.

Maxwell

I differentialform kan Maxwells ligninger blandt andet skrives:

∇ · E = ρ/ε₀

∇ · B = 0

∇ × E = −∂B/∂t

∇ × B = μ₀J + μ₀ε₀ ∂E/∂t

Her optræder elektriske og magnetiske felter som dele af ét samlet fysisk system.

En af de store konsekvenser af ligningerne er:

elektromagnetiske bølger.

Men bølger møder grænser

Forestil dig et signal, der bevæger sig gennem et kabel.

Så længe transmissionslinjen fortsætter ensartet, bevæger bølgen sig fremad.

Men når den møder en belastning, opstår spørgsmålet:

Passer belastningen til linjen?

Det beskrives gennem:

impedans.

Impedans

I vekselstrøms- og højfrekvensteknik er modstand alene ikke tilstrækkeligt.

Vi bruger den komplekse impedans:

Z = R + jX

hvor:

R er resistans,

X er reaktans,

og:

j = √−1

er den imaginære enhed, som normalt betegnes j i elektroteknik.

Impedansen har altså både:

en reel og en imaginær komponent.

Hvorfor kompleks matematik?

Fordi elektriske signaler ikke kun har:

størrelse.

De har også:

fase.

Komplekse tal giver en elegant matematisk måde at beskrive begge dele samtidigt.

Dermed bliver den komplekse talplan et naturligt sprog for:

bølgefysik.

Karakteristisk impedans

En transmissionslinje har en:

karakteristisk impedans Z₀.

Et almindeligt RF-system kan eksempelvis være konstrueret omkring:

50 Ω.

Hvis belastningen også er 50 Ω og rent resistiv, har vi en perfekt:

impedanstilpasning.

Men hvis belastningen er anderledes, opstår refleksion.

Refleksionskoefficienten

Forholdet mellem den reflekterede og indkommende bølge beskrives med:

Γ

og kan skrives:

Γ = (ZL − Z₀)/(ZL + Z₀)

hvor:

ZL er belastningsimpedansen,

og:

Z₀ er transmissionslinjens karakteristiske impedans.

Γ er generelt:

et komplekst tal.

Fra impedans til cirkel

Her opstår Smith Charts matematiske elegance.

Impedansen kan normaliseres:

z = ZL/Z₀

og refleksionskoefficienten bliver:

Γ = (z − 1)/(z + 1)

Dette er en:

Möbius-transformation.

Den komplekse impedansplan transformeres til refleksionskoefficientens plan.

Og pludselig opstår:

Smith Chart.

Cirklerne har betydning

De mange cirkler og buer er ikke dekorative.

De repræsenterer bestemte elektriske egenskaber.

Én familie af kurver repræsenterer:

konstant resistans.

En anden repræsenterer:

konstant reaktans.

Hvert punkt på diagrammet svarer derfor til en bestemt:

kompleks impedans.

Centrum

Midten af Smith Chart har en særlig betydning.

Her gælder:

z = 1 + j0

Det vil sige:

ZL = Z₀

Dermed bliver:

Γ = 0

Ingen refleksion.

Belastningen er perfekt tilpasset transmissionslinjen.

Centrum repræsenterer derfor:

impedanstilpasning.

Mod kanten

Jo længere et punkt bevæger sig fra centrum, desto større bliver størrelsen af refleksionskoefficienten:

|Γ|

Ved diagrammets yderste cirkel gælder:

|Γ| = 1

Det svarer til:

total refleksion.

Geometrisk afstand fra centrum får dermed en direkte fysisk betydning.

En bølge kommer tilbage

Når impedansen ikke matcher, reflekteres en del af den elektromagnetiske bølge.

Den fremadgående bølge møder den reflekterede bølge.

De interfererer.

Resultatet kan være:

stående bølger.

VSWR

Graden af stående bølger kan beskrives med:

Voltage Standing Wave Ratio

eller:

VSWR.

Sammenhængen med refleksionskoefficienten er:

VSWR = (1 + |Γ|)/(1 − |Γ|)

Ved perfekt tilpasning:

Γ = 0

og dermed:

VSWR = 1.

Det er den ideelle situation.

Transmission gennem kabler

Ved lave frekvenser kan et kabel ofte behandles nogenlunde som en simpel elektrisk forbindelse.

Ved høje frekvenser bliver bølgelængden sammenlignelig med systemets fysiske dimensioner.

Så bliver kablet selv:

en del af fysikken.

Spænding og strøm varierer langs transmissionslinjen.

Afstand betyder noget.

Fase betyder noget.

Derfor bruges Smith Chart

Smith Chart gør det muligt visuelt at undersøge:

impedans,

admittans,

refleksion,

stående bølger,

transmissionslinjers længde

og:

impedanstilpasning.

Det blev udviklet før digitale computere gjorde komplekse beregninger trivielle.

Men diagrammet bruges stadig.

Antenner

Et vigtigt anvendelsesområde er:

antenneteknik.

En sender skal overføre elektromagnetisk energi gennem en transmissionslinje til en antenne.

Hvis impedanserne ikke passer sammen, kan en del af energien blive:

reflekteret tilbage.

Derfor er impedanstilpasning central ved design og måling af antenner.

Radio

Det samme princip findes i:

radioteknik,

satellitkommunikation,

radar,

mobilkommunikation,

Wi-Fi

og:

mikrobølgeteknik.

Hvor elektromagnetiske signaler bevæger sig gennem højfrekvente systemer, bliver refleksion og impedans relevante.

S-parametre

I moderne RF- og mikrobølgeteknik beskrives netværk ofte med:

S-parametre.

Den mest kendte i forbindelse med refleksion er:

S₁₁.

S₁₁ beskriver, hvor meget af et signal ved port 1 der reflekteres tilbage til port 1.

Det kan vises direkte på:

Smith Chart.

Vektornetværksanalysatoren

Et moderne instrument til sådanne målinger er:

Vector Network Analyzer – VNA.

Når en ingeniør måler en antenne eller et RF-kredsløb, kan instrumentet vise måleresultaterne på et:

Smith Chart.

Det historiske diagram lever dermed videre på moderne digitale instrumenter.

Matematikken bag fysikken

Smith Chart er fascinerende, fordi flere verdener mødes i samme figur.

Vi har:

komplekse tal

til at beskrive amplitude og fase.

Vi har:

Möbius-transformationer

til at transformere impedans til refleksionskoefficient.

Vi har:

cirkler og buer

som geometrisk repræsentation.

Og bag det hele findes:

elektromagnetiske bølger.

Et kort over noget usynligt

Vi kan ikke se impedans.

Vi kan ikke med øjet se fasen af et radiosignal.

Vi kan heller ikke se en elektromagnetisk bølge bevæge sig gennem et koaksialkabel.

Men vi kan:

kortlægge den.

Smith Chart er derfor næsten et kort over en usynlig fysisk verden.

Hver kurve fortæller noget

Det, der ved første blik ligner et abstrakt geometrisk mønster, er i virkeligheden:

information.

Et punkt kan fortælle os om:

resistans,

reaktans,

refleksionens størrelse

og:

refleksionens fase.

Bevæger vi os gennem diagrammet, følger vi samtidig ændringer i et fysisk elektrisk system.

Et fysisk problem bliver geometri

Det er måske Smith Charts smukkeste egenskab.

Et problem om elektromagnetiske bølger bliver til:

cirkler.

Komplekse tal bliver til:

positioner.

Impedans bliver til:

geometri.

Og refleksion bliver til:

afstand og retning.

Matematik som instrument

Smith Chart er ikke kun en illustration af matematik.

Det er matematik, der blev udviklet til at:

arbejde med den fysiske verden.

Diagrammet viser derfor præcis den forbindelse, Science-kollektionen handler om:

At ligninger og geometriske konstruktioner ikke kun er abstrakte idéer.

De kan beskrive:

virkeligheden.

Badeforhænget er fremstillet i polyesterstof med et blødt og tekstilt fald. Stoffet kan vaskes og stryges.

Hos smuktbad.dk fås badeforhænget i alle størrelser – også skræddersyet efter individuelle mål. Smith Chart-designet er eksklusivt og findes kun hos smuktbad.dk. Du kan desuden vælge rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd.

Højdepunkter

• Inspireret af det klassiske Smith Chart fra radio- og mikrobølgeteknik
• Forbinder elektromagnetisme, impedans, bølgerefleksion og kompleks matematik
• Minimalistisk Science design med autentisk teknisk og videnskabeligt udgangspunkt

Badeforhængets fordele

• Fås i alle størrelser – også skræddersyet efter mål
• Fremstillet i polyesterstof, som kan vaskes og stryges
• Mulighed for rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd

Det ligner:

geometri.

Men kurverne fortæller historien om noget, vi ikke kan se.

En elektromagnetisk bølge bevæger sig frem.

Møder en grænse.

En del fortsætter.

En del vender tilbage.

Amplitude og fase ændres.

Og alt dette kan placeres som:

et punkt i en cirkel.

Smith Chart gør den usynlige bølge til geometri.