Badeforhæng med potentialelinjer – matematisk Science design

Potentialefelter – matematikken bag usynlige landskaber

Forestil dig et landskab.

Hvis vi ser det fra siden, kan vi se bakker og dale.

Men på et kort må højden oversættes til noget todimensionalt.

En klassisk løsning er højdekurver.

Alle steder med samme højde forbindes med en linje.

Matematisk kan et landskab beskrives som en funktion:

z = f(x,y)

En niveaukurve fremkommer ved at vælge en bestemt værdi c og finde alle punkter, hvor:

f(x,y) = c

Når c ændres, får vi en familie af kurver.

Det er grundideen bag motivet.

Men niveaukurver behøver ikke beskrive fysisk højde.

De kan visualisere enhver skalar størrelse, som varierer gennem et område.

Temperatur.

Tryk.

Koncentration.

Elektrisk potentiale.

Gravitationelt potentiale.

En skalarfunktion tildeler ganske enkelt ét tal til hvert punkt:

V = V(x,y)

Vi kan ikke umiddelbart se et sådant matematisk felt.

Men vi kan tegne steder, hvor V har samme værdi:

V(x,y) = c

Disse linjer kaldes blandt andet niveaukurver, konturlinjer eller equipotentiallinjer afhængigt af sammenhængen.

Motivet bliver særligt interessant, fordi geometrien antyder samspillet mellem to centre.

Forestil dig to kilder placeret ved:

r₁

og:

r₂

Hvis hver kilde skaber et potentiale, kan det samlede potentiale i mange lineære fysiske modeller findes ved at lægge bidragene sammen.

Det kaldes superpositionsprincippet.

Vi kan skrive:

V(r) = V₁(r) + V₂(r)

For to punktladninger i elektrostatikken kan potentialet eksempelvis skrives:

V(r) = k(q₁/|r-r₁| + q₂/|r-r₂|)

hvor q₁ og q₂ er ladningerne, r₁ og r₂ deres positioner, og k er Coulombs konstant.

Hvis de to kilder er ens, opstår der en symmetrisk struktur.

Tæt på den enkelte kilde dominerer dens lokale bidrag.

Længere væk bliver de to bidrag i stigende grad oplevet som ét samlet system.

Det giver en vigtig geometrisk effekt.

På stor afstand bliver detaljerne i fordelingen mindre betydningsfulde.

Systemet kan begynde at ligne én samlet kilde.

Det er en generel idé, som optræder mange steder i fysikken.

Skala betyder noget.

Et system kan have én struktur tæt på og en anden struktur langt væk.

Motivets kurver visualiserer netop denne overgang.

De er ikke blot gentagelser af den samme form i forskellige størrelser.

Deres geometri ændrer sig.

Det fortæller os, at det underliggende felt ændrer karakter gennem rummet.

Her mødes geometri og analyse.

En anden vigtig matematisk størrelse er gradienten:

∇V

Gradienten peger i den retning, hvor V vokser hurtigst.

For en funktion af to variable skrives den:

∇V = (∂V/∂x, ∂V/∂y)

Gradienten står vinkelret på funktionens niveaukurver.

Det betyder, at hvis linjerne på motivet fortolkes som equipotentiallinjer, kan man forestille sig et tilhørende vektorfelt, der lokalt krydser dem vinkelret.

I elektrostatikken hænger det elektriske felt sammen med potentialet gennem:

E = −∇V

Minusset betyder, at feltet peger mod faldende potentiale.

Vi får dermed to forskellige måder at visualisere samme fysiske system.

Potentialelinjerne viser steder med samme værdi.

Feltlinjerne viser retningen af påvirkningen.

Det ene er et skalart felt.

Det andet er et vektorfelt.

Forbindelsen mellem dem ligger i differentialregningen.

Det gør den tilsyneladende enkle familie af kurver til en visualisering af nogle meget grundlæggende matematiske idéer.

Funktioner af flere variable.

Niveaukurver.

Gradienter.

Vektorfelter.

Superposition.

Afstand.

Symmetri.

Samme matematiske principper bruges på tværs af naturvidenskaben.

Meteorologiske kort viser eksempelvis linjer med samme lufttryk.

Temperaturkort kan vise isotermer.

Topografiske kort viser højdekurver.

Fysikken visualiserer potentialer.

Selv dataanalyse kan bruge konturdiagrammer til at vise værdien af funktioner med flere variable.

Vi har udviklet denne grafiske metode, fordi den løser et grundlæggende problem:

Hvordan viser vi noget, der har flere dimensioner, på en flad overflade?

Svaret er at skære funktionen i niveauer.

Hvert niveau bliver en linje.

Sammen gør linjerne det usynlige landskab synligt.

Det er også dét, der gør motivet interessant som design.

Kurverne er ikke tilfældige dekorationer.

Deres form kan læses som information.

Hvor linjerne ligger tæt, ændrer den underliggende funktion sig hurtigt.

Hvor afstanden er større, ændrer den sig langsommere.

Selv afstanden mellem linjerne fortæller dermed noget om feltet.

Science-kollektionen tager denne videnskabelige visualisering ud af lærebogen og lader den fungere som et rent grafisk motiv.

På afstand ses en rolig, næsten organisk form.

På nært hold opdager man den systematiske familie af kurver.

Og bag dem ligger idéen om et matematisk landskab, som eksisterer overalt i rummet, selv om vi normalt ikke kan se det.

Badeforhænget er fremstillet i polyesterstof med et blødt og tekstilt fald. Stoffet kan vaskes og stryges.

Hos smuktbad.dk fås badeforhænget i alle størrelser – også skræddersyet efter individuelle mål. Designet er eksklusivt og findes kun hos smuktbad.dk. Du kan desuden vælge rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd.

Højdepunkter

• Inspireret af niveaukurver, potentialefelter og superpositionsprincippet
• To centre skaber en samlet geometrisk struktur af lukkede kurver
• Science design med forbindelser mellem matematik, fysik og videnskabelig visualisering

Badeforhængets fordele

• Fås i alle størrelser – også skræddersyet efter mål
• Fremstillet i polyesterstof, som kan vaskes og stryges
• Mulighed for rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd

Et felt kan være usynligt.

Alligevel kan det have struktur.

Hvert punkt kan have en værdi.

Værdierne kan ændre sig gennem rummet.

Og forbinder vi punkter med samme værdi, begynder et skjult landskab at træde frem.

Linjerne bliver et matematisk kort over noget, vi ellers ikke kan se.

Her bliver kortet til design.