Badeforhæng med periodiske niveaukurver – matematisk Science design

Periodiske funktioner – når matematikken gentager sig i to dimensioner

Gentagelse er en af matematikkens mest grundlæggende former for orden.

Vi kender den fra en simpel sinuskurve:

f(x) = sin(x)

Efter en hel periode begynder mønstret igen.

Matematisk udtrykkes periodiciteten som:

f(x + T) = f(x)

hvor T er funktionens periode.

Men periodicitet behøver ikke være endimensional.

Hvis en funktion afhænger af både x og y, kan gentagelsen foregå i to retninger.

Vi kan eksempelvis betragte:

f(x,y) = cos(x) + cos(y)

Her gentager funktionen sig, når x forskydes med 2π:

f(x + 2π,y) = f(x,y)

og tilsvarende i y-retningen:

f(x,y + 2π) = f(x,y)

Vi har dermed skabt et matematisk landskab, der fortsætter gennem planet.

For at se landskabet kan vi tegne dets niveaukurver:

f(x,y) = c

hvor c er en konstant.

For funktionen ovenfor bliver det:

cos(x) + cos(y) = c

Når forskellige værdier af c tegnes, fremkommer familier af lukkede og åbne kurver.

Omkring funktionens lokale maksimum- og minimumspunkter kan niveaukurverne lukke sig omkring et centrum.

Det minder om højdekurver omkring en bjergtop eller en dal på et topografisk kort.

Men her gentages bjergene og dalene.

Igen.

Og igen.

I begge retninger.

Det er denne idé, motivet visuelt leder tankerne mod.

Hvert center indgår i den samme struktur.

Hvis hele mønstret forskydes præcis én periode, får vi det samme matematiske landskab tilbage.

En sådan forskydning kaldes en translation.

I planet kan den beskrives:

T(x,y) = (x+a, y+b)

Hvis mønstret er invariant under bestemte translationer, betyder det, at det efter forskydningen ser ud præcis som før.

Det er en form for translationssymmetri.

Og den findes overalt omkring os.

Flisemønstre.

Tekstiler.

Arkitektoniske ornamenter.

Krystalgitre.

Digitale mønstre.

Men den samme idé får en særlig betydning i fysikken.

I et ideelt krystallinsk materiale gentages atomernes arrangement periodisk gennem rummet.

En todimensional idealisering kan beskrives med to basisvektorer:

a₁ og a₂

Gitterpunkterne kan derefter skrives:

R = n a₁ + m a₂

hvor n og m er heltal.

To retninger og to heltal er nok til at generere et uendeligt gitter.

Det enkelte felt i gitteret kaldes en enhedscelle.

Gentager vi enhedscellen ved translation, opstår hele strukturen.

Motivet på badeforhænget kan betragtes på samme måde.

Ét område indeholder den grundlæggende geometri.

Derefter gentages det systematisk over hele fladen.

Men niveaukurverne tilføjer endnu et lag.

De viser ikke kun positionerne i et gitter.

De viser variationen af en kontinuerlig funktion mellem gitterpunkterne.

Dermed kombineres det diskrete og det kontinuerte.

Gitteret giver den diskrete gentagelse.

Kurverne beskriver et kontinuerligt felt.

Denne kombination er fundamental i mange dele af matematikken og fysikken.

Periodiske potentialer bruges eksempelvis i modeller af faste stoffers fysik.

Bølger kan bevæge sig gennem periodiske strukturer.

Og når periodiske funktioner analyseres, bliver Fourier-analyse et centralt matematisk værktøj.

En periodisk funktion kan under passende betingelser beskrives som en sum af sinus- og cosinuskomponenter:

f(x) = a₀ + Σ[aₙ cos(nx) + bₙ sin(nx)]

En kompleks form kan dermed opbygges af simple bølger.

I to dimensioner kan samme idé udvides, så et helt periodisk mønster beskrives gennem rumlige frekvenser.

Det skaber en fascinerende forbindelse mellem geometri og bølger.

Det, vi ser som et gentaget grafisk mønster, kan matematisk analyseres som en kombination af frekvenser.

Motivet rummer også symmetri.

Der er tydelige vandrette og lodrette gentagelser.

Centrene ligger regelmæssigt.

De enkelte celler har spejlende egenskaber.

Symmetri betyder i matematikken ikke blot, at noget “ser harmonisk ud”.

Det betyder, at bestemte transformationer kan udføres uden at ændre den grundlæggende struktur.

Translation.

Spejling.

Rotation.

Disse transformationer kan klassificeres matematisk.

Og når periodiske mønstre undersøges systematisk, fører det blandt andet til gruppeteori og de 17 tapetgrupper, som beskriver alle mulige symmetrityper for periodiske mønstre i et todimensionalt plan.

Dermed gemmer der sig overraskende meget matematik i noget så velkendt som et gentaget ornament.

Science-kollektionen tager netop udgangspunkt i denne forbindelse.

Matematik behøver ikke illustreres med tal og formler.

En matematisk struktur kan selv være motivet.

På afstand fremstår badeforhænget som et grafisk retropræget mønster af afrundede former.

På nært hold bliver systematikken tydelig.

Kurve efter kurve.

Celle efter celle.

Periode efter periode.

Det visuelle udtryk opstår gennem matematisk gentagelse.

Badeforhænget er fremstillet i polyesterstof med et blødt og tekstilt fald. Stoffet kan vaskes og stryges.

Hos smuktbad.dk fås badeforhænget i alle størrelser – også skræddersyet efter individuelle mål. Designet er eksklusivt og findes kun hos smuktbad.dk. Du kan desuden vælge rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd.

Højdepunkter

• Inspireret af periodiske funktioner, niveaukurver og translationssymmetri
• Geometrisk gitter med gentagne koncentriske kurver
• Science design med forbindelser til Fourier-analyse, krystalgitre og symmetri

Badeforhængets fordele

• Fås i alle størrelser – også skræddersyet efter mål
• Fremstillet i polyesterstof, som kan vaskes og stryges
• Mulighed for rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd

Én form bliver til mange.

Ikke ved tilfældighed.

Men gennem en matematisk regel for gentagelse.

Flyt strukturen én periode, og den vender tilbage til sig selv.

Fortsæt bevægelsen, og mønstret kan i princippet brede sig uendeligt gennem planet.

Det er periodicitetens særlige skønhed:

En lille matematisk idé kan skabe et uendeligt design.