Badeforhæng med Lissajous-kurver – matematisk Science design

Lissajous-kurver – når to svingninger tegner en form

Begynd med én harmonisk svingning.

Den kan beskrives:

x(t) = A sin(ωt)

Her er:

A

svingningens amplitude.

ω

dens vinkelfrekvens.

Og:

t

tiden.

Bevægelsen går frem og tilbage.

Regelmæssigt.

Periodisk.

Tilføjer vi endnu en harmonisk svingning i en anden retning, bliver resultatet langt mere interessant.

Vi kan skrive:

x(t) = A sin(at + δ)

y(t) = B sin(bt)

Nu bestemmes et punkt i planen af to samtidige svingninger.

Den ene styrer bevægelsen vandret.

Den anden styrer bevægelsen lodret.

Når tiden ændres, bevæger punktet sig gennem planen.

Sporet efter punktet bliver til en Lissajous-kurve.

Det er en bemærkelsesværdig transformation.

To simple svingninger bliver til geometri.

Kurvens udseende bestemmes især af tre forhold:

frekvensforholdet.

amplituderne.

faseforskydningen.

Hvis frekvenserne er ens:

a = b

og faseforskydningen er:

δ = 0

kan resultatet blive en ret linje.

Ændrer vi faseforskydningen til:

δ = π/2

og vælger:

A = B

kan resultatet blive en cirkel.

Allerede her ser vi noget interessant.

De samme to sinusfunktioner kan skabe vidt forskellige geometriske figurer blot ved at ændre deres relative fase.

Fase beskriver, hvor langt en periodisk bevægelse er kommet i sin cyklus.

To svingninger kan have samme frekvens og amplitude, men være forskudt i forhold til hinanden.

Denne forskydning kan skrives:

δ = φ₁ − φ₂

Hvis:

δ = 0

er svingningerne i fase.

Hvis:

δ = π

er de i modfase.

Hvis:

δ = π/2

er de forskudt en kvart periode.

I Lissajous-figuren bliver denne usynlige tidslige forskel til synlig geometri.

Tid bliver til form.

Det næste afgørende element er frekvensforholdet:

a/b

Hvis forholdet mellem frekvenserne er et rationelt tal:

a/b = m/n

hvor m og n er hele tal, vil kurven under passende betingelser lukke sig.

Den vender tilbage til sin begyndelsestilstand.

Eksempelvis kan vi vælge:

a:b = 2:1

eller:

3:2

eller:

5:4

Hvert forhold skaber sin egen karakteristiske struktur af løkker og krydsninger.

Jo mere komplekst forholdet bliver, desto mere detaljeret kan figuren blive.

Hvis frekvensforholdet derimod er irrationelt, lukker kurven ikke på samme måde.

Banen fortsætter med at besøge nye positioner.

Dermed møder Lissajous-figurer en idé, vi også finder i dynamiske systemer:

periodisk og quasiperiodisk bevægelse.

Motivet på badeforhænget går visuelt videre end én enkelt isoleret Lissajous-figur.

Her opleves mange beslægtede kurver lagt oven på og forskudt i forhold til hinanden.

Vi kan forestille os en familie:

xₙ(t) = Aₙ sin(aₙt + δₙ)

yₙ(t) = Bₙ sin(bₙt)

hvor parametrene ændres en smule fra kurve til kurve.

Hvis eksempelvis faseforskydningen ændres:

δₙ = δ₀ + nΔδ

vil hver ny kurve være nært beslægtet med den foregående.

Men ikke identisk.

Lægger vi mange af disse kurver oven på hinanden, får vi en struktur, hvor linjerne tilsyneladende flyder gennem hinanden.

En lille matematisk variation bliver til en stor visuel effekt.

Det er et centralt princip i generativt design.

Man behøver ikke tegne den komplekse form direkte.

I stedet definerer man en regel.

Derefter varierer man en parameter.

Eksempelvis:

for n = 0,1,2,…,N

δₙ = δ₀ + nΔδ

og tegner:

(xₙ(t),yₙ(t))

for hver værdi af n.

Hundredvis af linjer kan dermed udspringe af den samme grundligning.

Kompleksiteten ligger ikke nødvendigvis i reglen.

Den ligger i gentagelsen.

Lissajous-figurer har samtidig en direkte forbindelse til fysikken.

En harmonisk oscillator kan beskrives ved differentialligningen:

d²x/dt² + ω²x = 0

En løsning er:

x(t) = A cos(ωt + φ)

Det betyder, at sinus- og cosinusfunktionerne ikke blot er praktiske geometriske værktøjer.

De beskriver faktisk bevægelsen i idealiserede oscillatorer.

En masse fastgjort til en fjeder.

Et svingende pendul ved små udsving.

Elektriske oscillationer.

Lydbølger.

Elektromagnetiske bølger.

Mange fysiske fænomener kan analyseres gennem harmoniske svingninger.

Lissajous-figuren viser, hvad der sker, når to sådanne periodiske bevægelser kombineres vinkelret på hinanden.

Historisk har figurerne også været anvendt til at sammenligne frekvenser.

På et oscilloskop kan ét periodisk signal styre den vandrette position og et andet den lodrette.

Hvis frekvenserne har et simpelt forhold, opstår en stabil Lissajous-figur på skærmen.

Formen afslører dermed noget om forholdet mellem signalerne.

En abstrakt kurve bliver til et måleinstrument.

Det er et smukt eksempel på forbindelsen mellem matematik og eksperimentel fysik.

Vi kan ikke se en frekvens direkte.

Vi kan ikke se en faseforskel direkte.

Men vi kan oversætte dem til en geometrisk figur.

Det usynlige bliver synligt.

Der findes også en forbindelse til lyd.

En ren tone kan idealiseres som en sinuskurve:

s(t) = A sin(2πft + φ)

hvor:

f

er frekvensen målt i hertz.

To toner kan derfor repræsenteres som to oscillatorer.

Har deres frekvenser et simpelt forhold, som:

2:1

3:2

eller:

4:3

finder vi de samme matematiske forhold, som historisk er centrale i musikalske intervaller.

Lissajous-figurer kan dermed give en visuel repræsentation af frekvensrelationer, som ellers opleves gennem lyd.

Matematikken forbinder øret og øjet.

Bølger spiller samtidig en langt større rolle i naturvidenskaben.

En generel bølge kan eksempelvis skrives:

y(x,t) = A sin(kx − ωt + φ)

Her er:

k = 2π/λ

bølgetallet.

λ

bølgelængden.

Og:

ω = 2πf

vinkelfrekvensen.

Sinusfunktionen bliver dermed et fælles matematisk sprog for periodiske fænomener.

Det er en af grundene til, at netop disse enkle kurver dukker op så mange steder.

Men virkelige signaler er ofte mere komplekse end én sinuskurve.

Her kommer Fourier-analysen ind.

Under brede betingelser kan komplekse periodiske signaler beskrives som summer af harmoniske komponenter:

f(t) = a₀ + Σ[aₙ cos(nωt) + bₙ sin(nωt)]

En kompliceret bølgeform kan altså opløses i simple sinus- og cosinussvingninger.

Det giver motivet endnu et lag.

Vi ser en kompleks visuel struktur.

Men bag den kan ligge gentagelser og kombinationer af nogle af matematikkens enkleste periodiske funktioner.

Sinus.

Cosinus.

Frekvens.

Fase.

Amplitude.

Fra disse få elementer kan der opstå en næsten uoverskuelig rigdom af former.

Det er præcis det princip, Science-kollektionen undersøger.

Videnskabelige og matematiske strukturer behøver ikke dekoration for at blive interessante.

Selve relationerne kan skabe designet.

I motivet ser vi bølger som geometri.

Frekvenser som løkker.

Faseforskydninger som forskydninger mellem linjerne.

Og gentagelse som kompleksitet.

Det, der ved første blik ligner et tæt abstrakt linjeværk, kan derfor læses som en fortælling om periodisk bevægelse.

En bevægelse gentages.

En anden bevægelse gentages.

De mødes.

Og ud af deres forhold opstår formen.

Badeforhænget er fremstillet i polyesterstof med et blødt og tekstilt fald. Stoffet kan vaskes og stryges.

Hos smuktbad.dk fås badeforhænget i alle størrelser – også skræddersyet efter individuelle mål. Designet er eksklusivt og findes kun hos smuktbad.dk. Du kan desuden vælge rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd.

Højdepunkter

• Inspireret af Lissajous-kurver og harmoniske svingninger
• Forbinder frekvens, fase, bølgefysik og parametrisk geometri
• Et generativt linjemotiv skabt gennem variation og gentagelse af matematiske kurver

Badeforhængets fordele

• Fås i alle størrelser – også skræddersyet efter mål
• Fremstillet i polyesterstof, som kan vaskes og stryges
• Mulighed for rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd

En sinuskurve er enkel.

To sinuskurver er stadig enkle.

Men lad den ene styre x.

Den anden y.

Forskyd deres fase.

Ændr deres frekvenser.

Gentag kurven med små variationer.

Og pludselig vokser et komplekst mønster frem.

Det er ikke tilfældighed.

Det er svingninger, der bliver til geometri.

Frekvens bliver til form.

Fase bliver til bevægelse.

Og matematik bliver til design.