Badeforhæng med kardioide – matematisk Science design

Kardioiden – en kurve skabt af cirkler og rette linjer

Se først på de enkelte elementer.

De er enkle.

Rette linjer.

Mange rette linjer.

Alligevel ser vi noget helt andet, når vi betragter dem samlet.

En stor blød kurve vokser frem.

Den buer rundt gennem cirklen og samles i en karakteristisk spids.

Det er kardioidens geometri.

Navnet kommer fra det græske ord for hjerte, kardia, fordi kurven kan minde om en stiliseret hjerteform.

En kardioide kan beskrives i polære koordinater.

En klassisk ligning er:

r(θ) = a(1 + cos θ)

Her er θ vinklen omkring centrum.

a bestemmer størrelsen.

r fortæller, hvor langt punktet ligger fra centrum.

Når θ ændres fra:

0

til:

2π

tegnes hele kurven.

Ved:

θ = 0

har vi:

r = 2a

Kurven befinder sig længst fra centrum.

Ved:

θ = π

får vi:

r = 0

Kurven rammer sit karakteristiske cusp – det skarpe punkt.

Afhængigt af hvilken retning kardioiden skal vende, kan ligningen roteres eller skrives med sinus:

r(θ) = a(1 + sin θ)

eller:

r(θ) = a(1 − sin θ)

Det interessante er, at en forholdsvis enkel trigonometrisk ligning kan skabe en så karakteristisk form.

Men kardioiden har en endnu mere geometrisk oprindelse.

Forestil dig en cirkel.

Lad nu en anden cirkel med præcis samme radius rulle langs ydersiden af den første.

Markér ét bestemt punkt på den rullende cirkels rand.

Mens cirklen ruller, følger punktet en bane.

Den bane er en kardioide.

Kardioiden tilhører derfor familien af epicykloider.

Hvis den faste cirkel og den rullende cirkel har samme radius, får vi netop kardioiden.

Vi kan beskrive bevægelsen parametrisk:

x(t) = a(2 cos t − cos 2t)

y(t) = a(2 sin t − sin 2t)

Her ser vi noget interessant.

Formen opstår ved at kombinere bevægelser med forskellige harmoniske frekvenser.

Vi har både:

cos t

og:

cos 2t

samt:

sin t

og:

sin 2t

En cirkulær bevægelse kombineres med en anden.

Resultatet bliver en ny kurve.

Men motivet på badeforhænget peger samtidig mod en anden matematisk idé.

Envelope.

På dansk kan vi kalde den en indhyllingskurve.

Forestil dig en hel familie af linjer:

F(x,y,t) = 0

Parameteren t vælger én bestemt linje fra familien.

Når t ændres, ændres linjens position.

Hvis linjerne ligger på den rigtige måde, vil de tilsammen synes at berøre en glat kurve.

Denne kurve er familiens envelope.

Matematisk kan den ofte findes ved at løse:

F(x,y,t) = 0

sammen med:

∂F/∂t = 0

Det betyder noget fascinerende.

Den kurve, vi ser, behøver ikke være tegnet.

Den kan opstå som grænsen mellem mange andre geometriske objekter.

Det er netop den effekt, der gør såkaldt curve stitching fascinerende.

Man kan tegne udelukkende rette linjer og alligevel skabe en figur, som øjet oplever som stærkt buet.

Tag eksempelvis to akser.

Markér punkter med regelmæssige intervaller.

Forbind punkt 1 på den ene akse med et tilsvarende forskudt punkt på den anden.

Fortsæt systematisk.

Én linje ser ikke særlig interessant ud.

Ti linjer begynder at antyde noget.

Hundrede linjer skaber en tydelig kurve.

Kurven er vokset frem af relationerne mellem linjerne.

Her mødes diskret og kontinuerlig matematik.

De enkelte linjer er separate.

Vi kan tælle dem.

Men deres envelope opleves som kontinuerlig.

Jo flere linjer vi tilføjer, desto glattere synes den fremkomne form.

Vi kan tænke på processen som en grænse.

Hvis antallet af linjer:

N

vokser:

N → ∞

bliver afstanden mellem de enkelte konstruktioner stadig mindre.

Den underliggende kurve træder stadig tydeligere frem.

Det giver motivet en interessant forbindelse til calculus.

En glat form kan opstå som grænsetilfældet af stadig finere diskrete konstruktioner.

Kardioiden har også overraskende forbindelser til optik.

Forestil dig lysstråler, der rammer indersiden af en cirkulær reflekterende overflade.

Efter refleksion kan de reflekterede stråler danne en koncentration af lys.

Grænsen for denne strålefamilie kaldes en caustic.

Under bestemte forhold får denne caustic form som en kardioide eller beslægtede kurver.

Man kan faktisk observere lignende lysmønstre i hverdagen.

Lys, der reflekteres inde i en rund kop eller et glas, kan skabe en skarp lysende kurve på bunden eller overfladen.

Det, der ser ud som et lille optisk ornament, er resultatet af geometri og refleksionsloven.

Refleksionsloven siger:

θᵢ = θᵣ

Indfaldsvinklen er lig refleksionsvinklen.

Når mange lysstråler følger denne simple regel på en krum overflade, kan deres envelope danne komplekse caustics.

Dermed mødes geometri og fysik igen.

Motivet har også forbindelse til komplekse tal.

En cirkel kan beskrives ved:

z = e^(it)

hvor:

e^(it) = cos t + i sin t

Ved at kombinere harmoniske led i det komplekse plan kan man konstruere epicykloidale kurver og andre former.

Det er samme matematiske idé, der ligger bag Fourier-repræsentationer af lukkede kurver.

En kompliceret figur kan i princippet opbygges af cirkulære bevægelser med forskellige frekvenser.

Det giver kardioiden en interessant placering mellem flere matematiske verdener.

Den kan forstås som en polær funktion.

Som en parametrisk kurve.

Som en epicykloide.

Som resultatet af cirkulær bevægelse.

Og i beslægtede konstruktioner som en envelope af en familie af linjer.

Det er netop denne flerhed, der gør den interessant som Science-design.

Motivet ser ved første blik næsten tredimensionelt ud.

Men der er ingen egentlig tredimensional form.

Dybden opstår gennem linjetætheden.

Hvor mange linjer passerer tæt på hinanden, bliver området visuelt mørkere.

Hvor linjerne spredes, bliver strukturen lysere.

Dermed skabes tonale variationer uden brug af egentlige gråtoner.

Kun linjer.

Det minder på sin vis om rasterteknikker.

En printer kan skabe oplevelsen af grå ved at variere små sorte elementers tæthed.

Her skaber geometrien selv variationen.

Det giver motivet endnu en interessant dobbelthed.

På afstand ser vi en organisk, næsten skulpturel form.

Tæt på ser vi et system.

Hver linje er præcis.

Hver forbindelse har en geometrisk relation til de andre.

Kompleksiteten ligger ikke i de enkelte dele.

Den ligger i deres organisation.

Det er en tilbagevendende idé i matematik og naturvidenskab.

Enkle regler kan skabe komplekse resultater.

En cirkel.

En bevægelse.

En parameter.

En række rette linjer.

Det er nok.

Ud af dem vokser en kurve, som ser ud til at være tegnet med én flydende bevægelse.

Men den er skabt af et helt system af relationer.

Det er matematik som konstruktion.

Og matematik som design.

Badeforhænget er fremstillet i polyesterstof med et blødt og tekstilt fald. Stoffet kan vaskes og stryges.

Hos smuktbad.dk fås badeforhænget i alle størrelser – også skræddersyet efter individuelle mål. Designet er eksklusivt og findes kun hos smuktbad.dk. Du kan desuden vælge rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd.

Højdepunkter

• Inspireret af kardioiden, polære funktioner og epicykloider
• En kompleks buet form vokser frem af et system af fine rette linjer
• Forbinder geometri med envelopes, harmoniske bevægelser og optik

Badeforhængets fordele

• Fås i alle størrelser – også skræddersyet efter mål
• Fremstillet i polyesterstof, som kan vaskes og stryges
• Mulighed for rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd

Se på én linje.

Den er fuldstændig ret.

Tilføj en mere.

Og en mere.

Fortsæt.

Langsomt begynder noget, som ikke findes i nogen af de enkelte linjer, at blive synligt.

En kurve.

Den synes næsten at være tegnet oven på linjerne.

Men den er ikke tegnet.

Den opstår mellem dem.

Enkle geometriske relationer bliver til en kompleks form.

Rette linjer bliver til en kurve.

Og matematik bliver til design.