Badeforhæng med inversionsgeometri – matematisk Science design

Inversionsgeometri – når nær og fjern bytter plads

Forestil dig en cirkel.

Den har centrum:

O

og radius:

R

Vælg nu et punkt:

P

i afstand:

r

fra centrum.

Vi ønsker at konstruere et nyt punkt:

P’

på den samme stråle fra O.

Afstanden til det nye punkt kalder vi:

r’

Inversionen defineres ved:

r · r’ = R²

eller:

r’ = R²/r

Denne meget enkle ligning skaber en overraskende geometri.

Hvis:

r > R

ligger punktet uden for inversionscirklen.

Så bliver:

r’ < R

og det transformerede punkt ligger indenfor.

Hvis:

r < R

bliver:

r’ > R

Punktet sendes udenfor.

Punkter inde og ude bytter altså plads.

Men punkterne på selve cirklen opfylder:

r = R

og derfor:

r’ = R²/R = R

De bliver stående.

Inversionscirklen er dermed transformationens faste grænse.

Nu sker noget endnu mere interessant.

Lad et punkt nærme sig centrum:

r → 0

Så gælder:

r’ → ∞

Centrum og uendeligheden bliver på en måde hinandens modstykker.

Det, der befinder sig ekstremt tæt på centrum, bliver sendt ekstremt langt væk.

Og det, der ligger meget langt væk, bliver sendt tæt mod centrum.

Inversion vender dermed vores normale forestilling om afstand på hovedet.

Nær bliver fjern.

Fjern bliver nær.

Det kan forklare den kraftige visuelle fortætning i motivets centrum.

Et regelmæssigt system af kurver kan efter transformation blive presset sammen omkring et særligt punkt.

Men inversion gør noget endnu mere bemærkelsesværdigt ved geometriske objekter.

En linje, der ikke går gennem inversionscentrum, transformeres til en cirkel, der går gennem centrum.

En cirkel, der går gennem centrum, transformeres til en linje.

En cirkel, der ikke går gennem centrum, transformeres til en anden cirkel.

Symbolsk kan vi tænke:

linje ↔ cirkel gennem O

og:

cirkel ↔ cirkel

Dermed bliver linjer og cirkler næsten to sider af samme geometriske struktur.

Det er en af grundene til, at inversionsgeometri kan skabe så karakteristiske net.

Begynd med rette linjer.

Transformér dem.

De bliver til cirkelbuer.

Begynd med cirkler.

Transformér dem.

Nye cirkler opstår.

Gentag strukturen omkring et centrum.

Et komplekst mønster vokser frem.

Men kompleksiteten skyldes ikke tilfældighed.

Den skyldes én konsekvent matematisk regel.

Vi kan også beskrive inversion ved hjælp af koordinater.

Hvis et punkt er:

P = (x,y)

med:

r² = x² + y²

kan inversion omkring en cirkel med radius R skrives:

x’ = R²x/(x² + y²)

y’ = R²y/(x² + y²)

Her bliver transformationens ikke-lineære karakter tydelig.

Koordinaterne divideres med:

x² + y²

Jo tættere punktet kommer på centrum, desto større bliver transformationsfaktoren.

Det er derfor, et ensartet gitter ikke længere forbliver ensartet.

Afstandene forvrænges.

Men noget andet kan bevares:

vinkler.

Cirkelinversion er konform.

Det betyder, at størrelsen og orienteringen kan ændres, men vinkler mellem kurver bevares i størrelse lokalt.

Hvis to kurver før transformationen mødes med vinklen:

θ

vil deres billeder også mødes med samme vinkelstørrelse:

θ

Det giver en fascinerende kombination.

Afstande kan forvrænges voldsomt.

Linjer kan blive til cirkler.

Små områder kan blive enorme.

Store områder kan blive presset sammen.

Men den lokale vinkelstruktur overlever.

Det fører videre til kompleks analyse.

Et punkt i planen kan skrives som et komplekst tal:

z = x + iy

En nært beslægtet transformation er:

w = 1/z

Hvis:

z = re^{iθ}

så bliver:

w = (1/r)e^{-iθ}

Her ser vi direkte inversionen af afstanden:

r → 1/r

samt ændringen af vinklen:

θ → −θ

Komplekse funktioner giver dermed et kompakt sprog for geometriske transformationer.

Det er ikke kun interessant for ren matematik.

Konforme transformationer har en vigtig rolle i matematisk fysik.

Forestil dig et todimensionalt potentialproblem.

Potentialet:

V(x,y)

opfylder Laplaces ligning:

∇²V = 0

I en kompliceret geometri kan ligningen være vanskelig at løse på grund af randbetingelserne.

Men hvis området kan transformeres konformt til et enklere område, kan problemet nogle gange løses dér.

Derefter transformeres løsningen tilbage.

Det er en stærk metode.

I stedet for at angribe den vanskelige geometri direkte ændrer vi geometrien.

Fysikken bliver matematisk lettere.

Konforme afbildninger har derfor historisk været anvendt inden for blandt andet elektrostatik og idealiseret væskedynamik.

I elektrostatik gælder:

E = −∇V

Ækvipotentiallinjer:

V = konstant

står vinkelret på feltlinjerne.

Hvis en konform transformation bevarer vinkler, kan denne ortogonale struktur også bevares gennem transformationen.

Et geometrisk net bliver dermed relevant for et fysisk felt.

Vi finder et lignende princip i todimensional potentialstrømning.

Her kan et komplekst potentiale skrives:

F(z) = φ(x,y) + iψ(x,y)

hvor:

φ

er hastighedspotentialet,

og:

ψ

er strømfunktionen.

Kurver:

φ = konstant

og:

ψ = konstant

kan danne et ortogonalt net.

Transformér koordinaterne konformt, og vi kan skabe nye strømninger ud fra kendte løsninger.

Matematikken flytter ikke bare punkter.

Den kan transformere hele modeller af fysiske systemer.

Inversionsgeometri har også en stærk forbindelse til klassisk cirkelgeometri.

Problemer, der virker vanskelige med mange cirkler, tangenter og skæringspunkter, kan nogle gange blive langt enklere efter en inversion.

En kompliceret cirkel kan blive en ret linje.

Tangensrelationer kan blive lettere at se.

Et problem ændrer karakter uden at miste sin geometriske kerne.

Det illustrerer en vigtig matematisk arbejdsmetode:

Hvis et problem er svært i sin nuværende form, transformér det.

Find en repræsentation, hvor strukturen bliver tydeligere.

Motivet kan netop læses på denne måde.

På afstand ser vi en symmetrisk, næsten stjerneformet struktur.

Når vi ser nærmere, opdager vi familier af kurver.

De krydser.

Bøjer.

Fortættes.

Og organiseres omkring centrum.

Man kan næsten forestille sig et oprindeligt regelmæssigt koordinatnet blive trukket gennem en matematisk linse.

Men linsen er ikke optisk.

Den er en ligning:

r’ = R²/r

Det er nok til at vende hele geometrien.

Motivet har samtidig en visuel lighed med fænomener, vi kender fra fysikken.

Felter omkring kilder.

Bølgemønstre.

Optiske forvrængninger.

Strømningslinjer.

Men her er pointen ikke at efterligne naturen.

Pointen er, at de matematiske transformationer, vi bruger til at beskrive naturen, selv kan skabe interessante former.

Matematikken bliver designmaterialet.

Det er en central idé i Science-kollektionen.

Formen er ikke først tegnet og bagefter forklaret matematisk.

Matematikken er selve generatoren for formen.

Et punkt transformeres.

Så endnu et.

Så en linje.

Så et helt net.

Og ud af den samme regel vokser en struktur, som øjet oplever som langt mere kompleks end ligningen bag den.

Begynd med:

r · r’ = R²

Lad nær og fjern bytte plads.

Lad linjer blive til cirkler.

Bevar vinklerne.

Og se et nyt geometrisk rum vokse frem.

Det er inversionsgeometri.

Og det er matematik, fysik og design i samme motiv.

Badeforhænget er fremstillet i polyesterstof med et blødt og tekstilt fald. Stoffet kan vaskes og stryges.

Hos smuktbad.dk fås badeforhænget i alle størrelser – også skræddersyet efter individuelle mål. Designet er eksklusivt og findes kun hos smuktbad.dk. Du kan desuden vælge rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd.

Højdepunkter

• Inspireret af cirkelinversion og konform geometri
• Forbinder geometri, kompleks analyse og matematisk fysik
• Et geometrisk net, hvor simple transformationer skaber en kompleks struktur

Badeforhængets fordele

• Fås i alle størrelser – også skræddersyet efter mål
• Fremstillet i polyesterstof, som kan vaskes og stryges
• Mulighed for rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd

Nær bliver fjern.

Fjern bliver nær.

En ret linje bliver til en cirkel, mens vinklerne mellem kurverne stadig kan bevares.

Det kræver blot en matematisk transformation.

Inversionsgeometrien viser på særlig smuk vis, hvordan en meget enkel ligning kan omforme et regelmæssigt system til en kompleks struktur.

Her bruges matematikken ikke blot til at beskrive motivet.

Matematikken skaber motivet.