Badeforhæng med hyperbolske kurver – matematisk Science design

Hyperblen – kurven der åbner sig mod uendeligheden

En cirkel lukker sig.

En ellipse lukker sig.

Men ændrer vi et enkelt fortegn i ellipsens ligning, sker der noget fundamentalt.

Fra:

x²/a² + y²/b² = 1

går vi til:

x²/a² − y²/b² = 1

Plustegnet bliver til et minustegn.

Og den lukkede ellipse bliver til:

en hyperbel.

To åbne grene

En hyperbel består ikke af én lukket kurve.

Den har to separate grene.

For standardformen:

x²/a² − y²/b² = 1

åbner grenene sig mod højre og venstre.

Bytter vi x og y:

y²/a² − x²/b² = 1

åbner de sig i stedet opad og nedad.

Kurven fortsætter:

mod uendelig.

Keglesnittene

Hyperblen tilhører familien af:

keglesnit.

Forestil dig en dobbelt kegle.

Skærer vi den med et plan på forskellige måder, kan vi få:

en cirkel,

en ellipse,

en parabel

eller:

en hyperbel.

Hyperblen opstår, når skæreplanet møder:

begge dele af den dobbelte kegle.

Det er en smuk geometrisk forbindelse mellem en tredimensionel form og en todimensional kurve.

Et gammelt matematisk objekt

Keglesnit blev studeret systematisk allerede i antikken.

Den græske matematiker:

Apollonios fra Perga

skrev et omfattende værk om dem omkring det 3. og 2. århundrede f.Kr.

Navnene:

ellipse

parabel

og:

hyperbel

stammer fra denne matematiske tradition.

Kurver, som i dag dukker op i fysik og teknologi, blev altså undersøgt geometrisk for mere end to tusind år siden.

Hyperblens asymptoter

En af hyperblens mest karakteristiske egenskaber er dens:

asymptoter.

For:

x²/a² − y²/b² = 1

er asymptoterne:

y = ±(b/a)x

Når vi bevæger os længere og længere ud langs hyperblen, kommer kurven stadig tættere på disse rette linjer.

Men den falder ikke sammen med dem.

Det giver et fascinerende matematisk forhold:

Afstanden kan nærme sig nul uden nødvendigvis at blive nul.

At nærme sig uden at nå

Asymptoten illustrerer en af matematikkens centrale idéer:

grænseværdien.

Vi kan skrive:

f(x) → g(x)

når:

x → ∞

hvis forskellen mellem funktionerne bliver stadig mindre.

Matematikken kan dermed beskrive noget, der ikke handler om et bestemt slutpunkt, men om:

adfærd på vej mod uendeligheden.

En familie af hyperbler

Motivet viser ikke kun én enkelt kurve.

Flere beslægtede linjer ligger ved siden af hinanden.

Matematisk kan vi eksempelvis betragte familien:

x² − y² = c

hvor c får forskellige værdier.

Hver værdi af c giver:

en ny hyperbel.

På den måde opstår en hel kurvefamilie fra den samme grundlæggende ligning.

Niveaukurver

Denne idé kan også forstås gennem en funktion:

f(x,y) = x² − y²

Vi vælger derefter en konstant:

c

og undersøger alle punkter, hvor:

f(x,y) = c

Resultatet er en:

niveaukurve.

Når c ændres, bevæger vi os gennem forskellige niveauer af den samme matematiske funktion.

Fra tredimensionel flade til todimensionelle linjer

Funktionen:

z = x² − y²

beskriver en saddelflade.

Skærer vi denne flade med vandrette planer:

z = c

får vi:

x² − y² = c

altså hyperbler.

Det betyder, at en familie af todimensionelle hyperbler kan ses som:

højdelinjer på en tredimensionel saddelflade.

Det er præcis samme princip, som når et topografisk kort omsætter landskabets højder til konturlinjer.

Den hyperbolske saddel

Fladen:

z = x² − y²

kaldes en:

hyperbolsk paraboloide.

I én retning bøjer den opad.

I den vinkelrette retning bøjer den nedad.

Derfor ligner den:

en saddel.

Den har negativ Gaussisk krumning og er et klassisk eksempel i differentialgeometrien.

Positivt og negativt

For familien:

x² − y² = c

sker der noget interessant, når c skifter fortegn.

Hvis:

c > 0

åbner hyperblerne i én retning.

Hvis:

c < 0

åbner de i den vinkelrette retning.

Og hvis:

c = 0

får vi:

x² − y² = 0

som kan faktoriseres:

(x − y)(x + y) = 0

Dermed får vi de to rette linjer:

y = x

og:

y = −x

De er netop asymptoterne.

Et kritisk niveau

Ved:

c = 0

ændrer niveaukurverne altså karakter.

Hyperbler, der åbner i én retning, møder et degenereret niveau bestående af to linjer og fortsætter derefter som hyperbler orienteret den anden vej.

Det er et enkelt eksempel på, hvordan geometrien af niveaukurver kan ændre sig omkring:

et kritisk punkt.

Hyperblens brændpunkter

Hyperblen kan også defineres geometrisk uden koordinatligning.

Vælg to faste punkter:

F₁ og F₂

De kaldes:

brændpunkter.

Hyperblen består af alle punkter P, hvor den absolutte forskel mellem afstandene til de to brændpunkter er konstant:

|PF₁ − PF₂| = 2a

Denne definition minder om ellipsens.

Men igen ændrer et matematisk fortegn hele geometrien.

Ellipsen og hyperblen

For en ellipse gælder:

PF₁ + PF₂ = konstant

For en hyperbel:

|PF₁ − PF₂| = konstant

Ellipse:

sum.

Hyperbel:

forskel.

Den ene lukker sig omkring sine brændpunkter.

Den anden åbner sig mod uendeligheden.

To meget forskellige former udspringer af næsten samme geometriske idé.

Excentricitet

Keglesnit kan beskrives gennem deres:

excentricitet e.

For en cirkel:

e = 0

For en ellipse:

0 < e < 1

For en parabel:

e = 1

For en hyperbel:

e > 1

Én enkelt parameter kan dermed bruges til at klassificere hele familien af keglesnit.

Hyperbolske baner

Hyperbler findes ikke kun på papir.

De optræder også i:

himmelmekanik.

Et objekt, der passerer et massivt himmellegeme med tilstrækkelig høj energi, kan følge en hyperbolsk bane.

I modsætning til en planet i en elliptisk bane er objektet ikke bundet.

Det kommer ind.

Passerer.

Og forlader systemet igen.

Escape trajectories

I Newtonsk gravitation kan baner klassificeres efter deres mekaniske energi.

Bundne baner er typisk:

elliptiske.

Ved grænsetilfældet får vi:

parabolske baner.

Ved positiv orbital energi:

hyperbolske baner.

Hyperblens åbne geometri bliver dermed et billede på fysisk:

flugt.

Hyperbolsk navigation

Hyperbler har også spillet en rolle i positionsbestemmelse.

Hvis forskellen i afstand til to kendte sendere er konstant, ligger modtageren på:

en hyperbel.

Måler man tidsforskellen mellem signaler fra flere sendere, kan positionen findes ved at kombinere sådanne kurver.

Dette princip kaldes:

hyperbolsk navigation.

Tidsforskelle bliver til geometri

Hvis et signal bevæger sig med hastigheden v, og forskellen i ankomsttid er:

Δt

svarer det til en afstandsforskel:

Δd = vΔt

Alle positioner med netop denne afstandsforskel danner en hyperbel.

En måling af:

tid

kan dermed oversættes til:

geometri i rummet.

Hyperboler i relativitetsteorien

Hyperbolske funktioner og hyperbolsk geometri optræder også i den specielle relativitetsteori.

I rumtiden spiller udtryk som:

x² − c²t²

en central rolle.

Fortegnsstrukturen minder om hyperblens:

x² − y²

og transformationer mellem inertialsystemer kan beskrives gennem hyperbolske funktioner.

Her bliver hyperblens geometri knyttet til selve strukturen af:

rum og tid.

Hyperbolske funktioner

Der findes også funktionerne:

cosh x

og:

sinh x

defineret ved:

cosh x = (eˣ + e⁻ˣ)/2

sinh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2

De opfylder identiteten:

cosh²x − sinh²x = 1

Sammenlign det med cirklens identitet:

cos²x + sin²x = 1

Igen ser vi det afgørende:

minus.

Cirkel og hyperbel

De almindelige trigonometriske funktioner kan forbindes med enhedscirklen:

x² + y² = 1

De hyperbolske funktioner kan tilsvarende forbindes med enhedshyperblen:

x² − y² = 1

Derfor hedder de netop:

hyperbolske funktioner.

Hyperblen har sin egen parallel til cirklens trigonometri.

Parametrisering

En gren af enhedshyperblen kan parametriseres:

x = cosh t

y = sinh t

fordi:

cosh²t − sinh²t = 1

Det giver endnu en måde at generere hyperblen på.

I stedet for at løse ligningen punkt for punkt lader vi parameteren t bevæge sig gennem de reelle tal.

Uendeligheden i motivet

Kurverne på badeforhænget stopper naturligvis.

Designfladen er endelig.

Men matematisk gør kurverne ikke.

Vi kan forestille os dem fortsætte uden for motivet.

Længere.

Og længere.

Stadig tættere på deres asymptotiske retninger.

Det giver det minimalistiske design en interessant spænding:

Det synlige motiv er kun et udsnit af en uendelig struktur.

Matematik med få linjer

Motivet er visuelt enkelt.

Der er ingen tætte net.

Ingen kompliceret overflade.

Ingen farver, der forklarer strukturen.

Kun:

kurver.

Alligevel rummer de forbindelser til keglesnit, differentialgeometri, gravitation, navigation, relativitetsteori og analyse.

Det er et godt eksempel på, hvor meget naturvidenskab der kan gemme sig i:

en meget enkel form.

Badeforhænget er fremstillet i polyesterstof med et blødt og tekstilt fald. Stoffet kan vaskes og stryges.

Hos smuktbad.dk fås badeforhænget i alle størrelser – også skræddersyet efter individuelle mål. Designet er eksklusivt og findes kun hos smuktbad.dk. Du kan desuden vælge rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd.

Højdepunkter

• Inspireret af hyperbler, asymptoter og matematiske niveaukurver
• Forbinder keglesnit med saddelflader, fysik, navigation og astronomi
• Minimalistisk Science design, hvor åbne kurver fortsætter mod uendeligheden

Badeforhængets fordele

• Fås i alle størrelser – også skræddersyet efter mål
• Fremstillet i polyesterstof, som kan vaskes og stryges
• Mulighed for rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd

En ellipse lukker sig om sit centrum.

Hyperblen gør det modsatte.

Den åbner sig.

Fortsætter.

Og nærmer sig sine asymptoter længere og længere ude.

Det krævede kun én lille ændring:

plus blev til minus.

Men den lille ændring forvandlede en lukket verden til:

en kurve mod uendeligheden.