Badeforhæng med hyperbolsk tessellation – matematisk Science design
Prisinterval: 199,00 kr. til 1.599,00 kr.
Eget unikt design
Idé til designs Anette Lind
Motiv og tekst ved hjælp af AI
Kontakt mig, hvis du ønsker designet
i andre farver eller beskæring/størrelse.
Hyperbolsk tessellation – når geometrien får mere plads
Tag nogle polygoner.
Trekanter.
Firkanter.
Femkanter.
Sekskanter.
Kan de dække en flade uden mellemrum?
Det spørgsmål fører direkte ind i tessellationernes matematik.
En tessellation er en opdeling af en flade i figurer, der mødes uden huller og uden at overlappe hinanden.
Vi kender dem fra hverdagen.
Kvadratiske fliser på et gulv er en tessellation.
Et mønster af regulære sekskanter som i en bikage er en anden.
Men der findes matematiske begrænsninger for, hvilke regulære polygoner der kan dække et almindeligt fladt plan.
En regulær n-kant har den indre vinkel:
α = (n − 2)π/n
For at polygonerne kan mødes omkring et punkt uden mellemrum, skal vinklerne tilsammen give:
2π
For kvadrater er vinklen:
π/2 = 90°
Fire kvadrater giver:
4 · 90° = 360°
Derfor kan kvadrater tessellere planet.
For en regulær sekskant er vinklen:
120°
Tre sekskanter giver:
3 · 120° = 360°
Også det virker.
Ligesidede trekanter har vinklen:
60°
Seks trekanter giver:
6 · 60° = 360°
Dermed får vi de tre regulære tessellationer af det euklidiske plan:
{3,6}
{4,4}
{6,3}
Notationen kaldes Schläfli-symboler.
I:
{p,q}
fortæller p, hvor mange sider hver polygon har.
q fortæller, hvor mange polygoner der mødes omkring hvert hjørne.
For det almindelige euklidiske plan gælder:
1/p + 1/q = 1/2
Men hvad sker der, hvis vi ændrer selve geometrien?
Så ændres mulighederne dramatisk.
I hyperbolsk geometri gælder:
1/p + 1/q < 1/2
Nu findes der pludselig uendeligt mange mulige regulære tessellationer.
Eksempelvis:
{5,4}
Fire regulære femkanter kan mødes omkring hvert hjørne.
Det kan de ikke i det almindelige euklidiske plan.
En regulær femkant har her en indre vinkel på:
108°
Fire af dem ville kræve:
432°
Det er for meget til de 360°, vi har omkring et punkt i det flade plan.
Men i hyperbolsk geometri fungerer vinkler og afstande anderledes.
Der er på en måde mere geometrisk plads.
Det skyldes rummets negative krumning.
Et almindeligt fladt plan har Gaussisk krumning:
K = 0
En kugle har positiv krumning:
K > 0
Det hyperbolske plan har negativ krumning:
K < 0
En intuitiv model for negativ krumning er en sadelform.
Men et helt hyperbolsk plan kan ikke uden videre lægges fladt ud i vores almindelige tredimensionelle rum.
Derfor bruger matematikken modeller.
En af dem er Poincaré-skiven.
Her repræsenteres hele det uendelige hyperbolske plan inden for en cirkel:
x² + y² < 1
Cirklens rand er ikke en del af selve planet.
Den repræsenterer uendeligheden.
Det betyder, at figurer, som matematisk kan have samme hyperbolske størrelse, ser stadig mindre ud, når de nærmer sig kanten.
Det er en af de mest fascinerende egenskaber ved modellen.
Forestil dig en række identiske hyperbolske polygoner.
I selve den hyperbolske verden er de lige store.
Men når de projiceres ind i Poincaré-skiven, ser polygonerne tæt ved kanten mindre ud end dem nær centrum.
Derfor kan et uendeligt mønster tilsyneladende pakkes ind i en endelig cirkel.
Vi kan komme tættere og tættere på kanten.
Flere polygoner kan dukke op.
Endnu flere.
Og endnu flere.
Men vi når aldrig den hyperbolske uendelighed.
Matematisk kan afstanden fra centrum til et punkt med euklidisk radius r beskrives:
d = 2 artanh(r)
Når:
r → 1
får vi:
d → ∞
Det lille sidste stykke frem mod cirklens rand indeholder altså uendelig hyperbolsk afstand.
Det ændrer også vores forståelse af linjerne i motivet.
I Poincaré-skiven er hyperbolske rette linjer ikke nødvendigvis rette set med vores almindelige euklidiske blik.
De repræsenteres som diametre gennem centrum eller som cirkelbuer, der møder skivens rand vinkelret.
Det er geodæter.
En geodæt er den naturlige “rette vej” i det pågældende geometriske rum.
På en kugle har vi faktisk allerede et beslægtet eksempel.
Den korteste rute mellem to fjerne steder på Jorden følger ikke nødvendigvis en ret linje på et almindeligt fladt verdenskort.
Den følger en storcirkel på kuglens overflade.
Hvad der er “ret”, afhænger altså af geometrien.
Det samme gælder polygoner.
En hyperbolsk polygon består af hyperbolske geodæter.
Derfor kan dens sider se buede ud i en todimensional model, selv om de matematisk fungerer som rette sider i det hyperbolske rum.
Tessellationer har en dyb forbindelse til symmetri.
Hvis et enkelt polygonalt område gentages gennem bestemte transformationer, kan hele det hyperbolske plan dækkes.
Transformationerne kan være rotationer.
Spejlinger.
Translationer i hyperbolsk forstand.
Og kombinationer af disse.
Matematisk kan sådanne symmetrier studeres gennem gruppeteori.
En gruppe beskriver ikke nødvendigvis en samling af objekter i almindelig forstand.
Den beskriver et system af transformationer med bestemte algebraiske regler.
Dermed kan et visuelt mønster omsættes til algebra.
Geometrien fortæller os, hvordan figurerne ser ud.
Gruppeteorien fortæller os, hvordan transformationerne hænger sammen.
Poincaré-skiven har desuden en stærk forbindelse til komplekse tal.
Et punkt kan repræsenteres som:
z = x + iy
med:
|z| < 1
Transformationer af typen:
f(z) = (az + b)/(cz + d)
kaldes Möbius-transformationer.
Under passende betingelser kan de bevare strukturen i den hyperbolske geometri.
Det betyder, at det polygonale net ikke kun handler om at tegne figurer.
Bag det findes transformationer, algebra og komplekse funktioner.
Motivet kan også ses som et netværk.
Hjørnerne bliver knudepunkter.
Kanterne bliver forbindelser.
Hvis vi glemmer polygonernes konkrete form og kun undersøger, hvilke punkter der er forbundet, bevæger vi os fra geometri til grafteori.
En graf kan beskrives:
G = (V,E)
hvor:
V
er mængden af knudepunkter, og:
E
er mængden af forbindelser mellem dem.
Dermed kan den samme figur betragtes på flere matematiske niveauer.
Som geometri.
Som tessellation.
Som symmetrisystem.
Som graf.
Og som projektion af et ikke-euklidisk rum.
Det er netop denne flerlagede matematik, der gør motivet interessant.
Ved første blik ser vi et abstrakt net af polygoner.
Men strukturen peger mod et større spørgsmål:
Hvad sker der med geometrien, hvis selve rummet ændrer sig?
I den euklidiske verden er vi vant til bestemte regler.
Parallelle linjer.
Vinkelsummer.
Afstande.
Polygoner.
Men de regler er ikke universelle.
De tilhører en bestemt geometri.
Skifter vi geometrien, får vi en anden matematisk verden.
Motivet bliver derfor et lille vindue til et rum, vi ikke kan se direkte.
Et rum med negativ krumning.
Et rum med mere plads.
Et rum, hvor polygoner kan organisere sig på helt andre måder.
Og et uendeligt rum, som kan visualiseres inden for en enkelt cirkel.
Det er Science-kollektionens grundidé.
Videnskaben behøver ikke omsættes til traditionelle illustrationer.
Selve strukturen kan være motivet.
Polygonerne bliver til netværk.
Netværket bliver til geometri.
Geometrien bliver til et andet rum.
Og matematikken bliver til design.
Badeforhænget er fremstillet i polyesterstof med et blødt og tekstilt fald. Stoffet kan vaskes og stryges.
Hos smuktbad.dk fås badeforhænget i alle størrelser – også skræddersyet efter individuelle mål. Designet er eksklusivt og findes kun hos smuktbad.dk. Du kan desuden vælge rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd.
Højdepunkter
• Inspireret af hyperbolsk geometri og polygonale tessellationer
• Forbinder Poincaré-skiven med symmetri, gruppeteori og grafteori
• Visualiserer geometriske strukturer, som ikke kan eksistere på samme måde i et almindeligt fladt plan
Badeforhængets fordele
• Fås i alle størrelser – også skræddersyet efter mål
• Fremstillet i polyesterstof, som kan vaskes og stryges
• Mulighed for rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd
Vi kender firkanter på et gulv.
Sekskanter i en bikage.
Trekanter i et geometrisk mønster.
Men ændrer vi rummets geometri, ændrer vi også reglerne for, hvordan former kan mødes.
Pludselig er der plads til nye strukturer.
Polygon efter polygon.
Forbindelse efter forbindelse.
Mønstret kan fortsætte mod cirklens kant.
Og videre.
For kanten er ikke afslutningen.
Den repræsenterer uendeligheden.
Vores badeforhæng er OEKO-TEX® STANDARD 100 certificeret, en garanti for produkter undersøgt for indhold af sundhedsskadelige stoffer.
Standard badeforhæng er med kantsyede huller i toppen. Du kan tilkøbe rynkebånd istedet.
Badeforhænget er fremstillet i Oxfordvævet stofpolyester – et vævet tekstilmateriale med fin struktur. Det har ikke en glat overflade som en plastikpose.
Polyester er ikke bare polyester, og det kan føles på mange forskellige måder – lige fra det silkebløde stof i en kjole til det mere faste og glatte stof i et badeforhæng.
Når dit badeforhæng føles en smule “plastikagtigt”, er det en helt bevidst og nødvendig funktion. I et fugtigt badeværelse er stoffet nødt til at være tætvævet, så det bliver vandafvisende og hurtigtørrende.
Hvis forhænget var lavet af et naturmateriale, ville der kunne ske tre ting:
- Det kunne suge vandet til sig som en svamp.
- Det ville blive utrolig tungt og klistre sig til kroppen, når du bader.
- Det ville forblive vådt i lang tid, hvilket skaber de perfekte rammer for skimmel, jordslag og bakterier.
Den glatte overflade og stofkvaliteten sikrer simpelthen, at vandet preller af, så forhænget holder sig rent, hygiejnisk og pænt i lang tid.
Vask: Maskinvask ved 30–40 grader.
Strygning: Lav temperatur.
Leveringstid er normalt 8-14 hverdage
Leveringstid for varer på lager: 2-4 hverdage
Dette vil fremgå på varen
Syopgaver fx rynkebånd,
tyngdebånd og XL/XXL/XXXL:
2-4 hverdage ekstra
Du har 14 dages fortrydelsesret på badeforhæng i standardstørrelser 90×180, 180×180, 180×200 og 180×240.
Undtaget fra fortrydelsesret er:
- Skræddersyet størrelse og XL, XXL og XXXL
- Tilpasninger i form af rynkebånd, tyngdebånd eller særlig syopgave
- Med eget design eller specielt design produceret til dig
- Stof
Her beskriver vi motiv og farver med ord:
Dette badeforhæng fra Science-kollektionen viser et geometrisk net af polygoner samlet inden for en cirkel. Figurerne danner en tæt, sammenhængende struktur, hvor linjer mødes i knudepunkter og opdeler fladen i mange polygonale områder. Mod cirklens kant ændres formernes størrelse og proportioner, hvilket giver motivet en tydelig rumlig karakter.
Designet er inspireret af hyperbolske tessellationer og visualisering i Poincaré-skiven. I hyperbolsk geometri findes der mere plads end i det almindelige euklidiske plan, og derfor kan polygoner organiseres på måder, som ikke er mulige i en flad geometri. Regelmæssige tessellationer kan beskrives med Schläfli-symbolet {p,q}, hvor p angiver antallet af sider i hver polygon, og q angiver, hvor mange polygoner der mødes ved et hjørne.
Motivet viser forbindelsen mellem polygoner, netværk, symmetri og ikke-euklidisk geometri. Det grafiske resultat ligner både et matematisk kort og en abstrakt konstruktion af et rum med andre geometriske regler end dem, vi normalt oplever.