Badeforhæng med hyperbolsk koordinatnet – matematisk Science design

Kurvelineære koordinater – når koordinatsystemet bøjer med geometrien

Vi lærer normalt at beskrive planen med to rette akser:

x

og:

y

Et punkt skrives:

P = (x,y)

Holder vi x konstant, får vi lodrette linjer.

Holder vi y konstant, får vi vandrette linjer.

De to familier krydser hinanden vinkelret.

Resultatet er det velkendte kartesiske koordinatnet.

Men der findes ingen matematisk regel om, at koordinatlinjer skal være rette.

Vi kan lade dem bøje.

Det giver kurvelineære koordinater.

I stedet for:

(x,y)

kan vi beskrive et punkt ved:

(u,v)

og definere:

x = x(u,v)

y = y(u,v)

Nu bestemmer funktionerne x(u,v) og y(u,v), hvordan vores koordinatnet ser ud.

Holder vi:

u = konstant

får vi én familie af kurver.

Holder vi:

v = konstant

får vi en anden.

Motivet viser netop denne grundidé.

To systematiske familier af kurver mødes og danner et sammenhængende koordinatnet.

Det interessante er, at kurverne kan være stærkt bøjede og alligevel bevare en præcis matematisk relation til hinanden.

Et vigtigt tilfælde er ortogonale koordinater.

Her krydser koordinatkurverne hinanden vinkelret.

Matematisk kan en parametrisering skrives som en positionsvektor:

r(u,v) = (x(u,v), y(u,v))

De to tangentvektorer er:

∂r/∂u

og:

∂r/∂v

Hvis koordinatsystemet er ortogonalt, gælder:

∂r/∂u · ∂r/∂v = 0

Prikproduktet er nul.

Derfor står de to lokale retninger vinkelret på hinanden.

Det er bemærkelsesværdigt, fordi nettet visuelt kan se langt mere komplekst ud end et almindeligt kvadratisk gitter.

Linjerne bøjer.

Afstandene ændres.

Cellerne strækkes og komprimeres.

Men lokalt kan vinklerne stadig bevares.

Her nærmer vi os idéen om konforme afbildninger.

En konform afbildning bevarer vinkler lokalt.

Hvis to kurver mødes med en bestemt vinkel før transformationen, mødes deres billeder med samme vinkel efter transformationen.

I kompleks analyse kan vi beskrive planen med:

z = x + iy

og en transformation med en kompleks funktion:

w = f(z)

Hvis f er analytisk og:

f'(z) ≠ 0

er transformationen lokalt konform.

Det betyder ikke, at afstande bevares.

Det betyder heller ikke nødvendigvis, at arealer bevares.

Men vinkler gør.

Forestil dig derfor et almindeligt kvadratisk koordinatnet.

Transformér hele planen gennem en passende funktion.

De oprindeligt rette linjer kan blive til kurver.

Kvadraterne kan blive strakt.

Nogle områder kan blive komprimeret.

Andre forstørret.

Alligevel kan den lokale vinkelstruktur bevares.

Et enkelt gitter bliver til en kompleks geometrisk vævning.

Det er en af de fascinerende egenskaber ved konforme transformationer.

Geometrien ændrer udseende uden at miste hele sin struktur.

En klassisk transformation er:

w = 1/z

Skriver vi:

z = re^{iθ}

får vi:

1/z = (1/r)e^{-iθ}

Transformationen vender dermed radial afstand om og ændrer vinklens fortegn.

Punkter tæt på nul sendes langt væk.

Punkter langt væk sendes tættere mod nul.

Linjer og cirkler transformeres på systematiske måder.

En anden vigtig type koordinatsystem er bipolare koordinater.

Her beskrives punkterne i forhold til to særlige fokuspunkter.

En almindelig parametrisering kan skrives:

x = a sinh(τ) / [cosh(τ) − cos(σ)]

y = a sin(σ) / [cosh(τ) − cos(σ)]

Her er:

σ

og:

τ

de to koordinater.

Holder vi den ene konstant, opstår én familie af cirkulære kurver.

Holder vi den anden konstant, opstår en anden familie.

De to familier krydser hinanden ortogonalt.

Det skaber net, som visuelt kan minde om strukturen i motivet.

Hvorfor skulle man overhovedet ønske at gøre et simpelt koordinatsystem så kompliceret?

Fordi det ofte gør selve fysikken enklere.

Antag, at vi ønsker at beregne et elektrisk potentiale:

V(x,y)

I et område uden elektriske ladninger opfylder potentialet Laplaces ligning:

∇²V = 0

I kartesiske koordinater bliver den:

∂²V/∂x² + ∂²V/∂y² = 0

Det ser enkelt ud.

Men hvis grænserne i problemet er krumme, kan randbetingelserne blive vanskelige.

Forestil dig eksempelvis to cylindriske ledere.

Problemet har ikke naturlig rektangulær symmetri.

Her kan et kurvelineært koordinatsystem følge ledernes geometri.

Så kan det komplicerede fysiske område blive matematisk enklere.

Det samme princip findes i væskedynamik.

En strømning omkring et objekt kan beskrives gennem et hastighedsfelt:

v(x,y)

Strømlinjer viser den lokale bevægelsesretning.

Potentiallinjer kan krydse strømlinjerne ortogonalt.

Dermed opstår netstrukturer, som minder om kurvelineære koordinatsystemer.

I potentialstrømning kan man introducere et hastighedspotentiale:

φ

og en strømfunktion:

ψ

Under passende betingelser kan:

φ = konstant

og:

ψ = konstant

danne to ortogonale familier af kurver.

Vi får et såkaldt flownet.

Pludselig bliver et abstrakt koordinatnet til en visualisering af fysisk bevægelse.

Den ene familie kan fortælle, hvor væsken bevæger sig.

Den anden kan fortælle noget om potentialet.

Et lignende princip findes i elektrostatikken.

Elektriske feltlinjer er relateret til potentialet gennem:

E = −∇V

Feltet peger derfor i retningen for potentialets største fald.

Resultatet er, at elektriske feltlinjer står vinkelret på ækvipotentiallinjer.

Vi får igen:

to familier af kurver.

Den ene beskriver feltet.

Den anden beskriver konstant potentiale.

De krydser hinanden vinkelret.

Geometrien bliver en måde at se fysikken på.

Det samme matematiske mønster kan optræde ved varmeledning.

Temperaturen beskrives som et felt:

T(x,y)

Kurver med:

T = konstant

kaldes isotermiske kurver.

Varmestrømmen følger temperaturgradienten:

q = −k∇T

og står derfor vinkelret på kurver med konstant temperatur.

Igen opstår to familier af ortogonale kurver.

Potentiale og felt.

Temperatur og varmestrøm.

Strømfunktion og hastighedspotentiale.

Forskellige fysiske fænomener.

Men beslægtet matematik.

Det fortæller noget fundamentalt om naturvidenskaben.

Matematiske strukturer tilhører ikke nødvendigvis kun ét fysisk fænomen.

Den samme differentialligning kan dukke op i forskellige sammenhænge.

Den samme geometri kan beskrive forskellige systemer.

Laplaces ligning:

∇²φ = 0

kan eksempelvis optræde i elektrostatik, gravitation, varmeledning og idealiseret væskestrømning.

Derfor kan en geometrisk løsning på ét problem nogle gange fortælle os noget om et helt andet.

Motivet kan også ses som et eksempel på transformation.

Forestil dig et helt regelmæssigt net.

Derefter bøjer vi koordinaterne.

Men vi gør det efter en matematisk regel.

Resultatet ser organisk ud.

Næsten som om nettet bliver trukket ind mod et centrum.

Alligevel er strukturen ikke tilfældig.

Hver linje er en del af en familie.

Hvert kryds følger relationen mellem koordinaterne.

Hver lokal deformation kan beskrives matematisk.

Det gør motivet interessant som design.

Vi ser noget, der på én gang virker præcist og levende.

Orden og deformation eksisterer samtidig.

Det er ikke længere nødvendigt at tænke på koordinater som et stift stykke kvadreret papir.

Koordinater er et sprog.

Og vi kan vælge det sprog, der passer bedst til geometrien.

Det kartesiske system siger:

beskriv verden med rette linjer.

Det kurvelineære system siger:

lad koordinaterne følge formen.

Det er en enkel idé.

Men den har enorm betydning i matematik og fysik.

Fra differentialgeometri og kompleks analyse til elektromagnetisme, varmeledning og væskedynamik.

Motivet gør denne abstrakte idé synlig.

Et koordinatnet behøver ikke være firkantet.

Matematikken kan bøje rummet på papiret.

Og stadig bevare orden.

Badeforhænget er fremstillet i polyesterstof med et blødt og tekstilt fald. Stoffet kan vaskes og stryges.

Hos smuktbad.dk fås badeforhænget i alle størrelser – også skræddersyet efter individuelle mål. Designet er eksklusivt og findes kun hos smuktbad.dk. Du kan desuden vælge rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd.

Højdepunkter

• Inspireret af kurvelineære og ortogonale koordinatsystemer
• Forbinder geometri, kompleks analyse, potentialteori og fysik
• Et minimalistisk linjemotiv, hvor et matematisk koordinatnet bliver til design

Badeforhængets fordele

• Fås i alle størrelser – også skræddersyet efter mål
• Fremstillet i polyesterstof, som kan vaskes og stryges
• Mulighed for rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd

Vi er vant til koordinater som rette linjer.

Men matematikken kræver det ikke.

Bøj koordinaterne.

Lad dem følge geometrien.

Bevar deres indbyrdes relationer.

Og et simpelt gitter bliver til et organisk net af kurver.

Den samme idé kan hjælpe os med at beskrive elektriske felter, væskestrømme og temperaturfordelinger.

Det, der på badeforhænget fremstår som et enkelt grafisk motiv, repræsenterer derfor en større videnskabelig idé:

Nogle gange bliver et svært problem lettere, når vi ændrer den måde, vi beskriver rummet på.