Badeforhæng med helicoid – matematisk Science design

Helicoiden – en uendelig matematisk vindeltrappe

Forestil dig en ret linje.

Lad den rotere omkring en lodret akse.

Men for hver lille rotation flytter vi samtidig linjen:

opad.

Den roterer.

Den stiger.

Og mens bevægelsen fortsætter, fejer linjen gennem rummet og skaber en flade.

Denne flade kaldes:

en helicoid.

Fra linje til flade

En helicoid kan beskrives parametrisk som:

x(u,v) = u cos v

y(u,v) = u sin v

z(u,v) = cv

Her er:

u

afstanden fra rotationsaksen,

v

rotationsvinklen,

og:

c

en konstant, som bestemmer, hvor hurtigt fladen bevæger sig opad under rotationen.

Det interessante er, at vi ikke længere beskriver en kurve.

Vi beskriver:

en flade i tre dimensioner.

To parametre

En kurve kræver normalt én parameter:

t

En flade kræver to.

Her bruger vi:

u og v

Holder vi v konstant og ændrer u, får vi en:

ret linje.

Holder vi derimod u konstant og ændrer v, får vi en:

helix.

Den samme flade indeholder altså både rette linjer og spiralkurver.

Det er en af helicoidens mest fascinerende egenskaber.

En flade bygget af rette linjer

Helicoiden tilhører en særlig familie af flader kaldet:

ruled surfaces.

Det betyder, at fladen kan konstrueres udelukkende af rette linjer.

For hver værdi af v findes en ret linje:

Lᵥ(u)

og alle disse linjer tilsammen danner helicoiden.

Visuelt ser fladen bøjet og snoet ud.

Men dens byggesten er:

rette linjer.

Det er et smukt eksempel på, hvordan en simpel geometrisk operation kan skabe en kompleks rumlig form.

Helixen inde i helicoiden

Hvis vi vælger en bestemt afstand fra aksen:

u = R

får vi:

x(v) = R cos v

y(v) = R sin v

z(v) = cv

Det er ligningen for:

en helix.

Set ovenfra bevæger punktet sig rundt på en cirkel.

Set fra siden bevæger det sig samtidig opad.

Kombinationen skaber den klassiske spiralbevægelse, vi kender fra blandt andet:

skruer,

fjedre,

vindeltrapper

og:

spiralformede biologiske strukturer.

Hvor meget stiger helicoiden?

Når v øges med:

2π

har fladen foretaget én fuld omdrejning.

Samtidig ændres højden med:

Δz = 2πc

Denne størrelse kaldes fladens:

pitch

eller stigning pr. omdrejning.

Hvis c er lille, ligger spiralens lag tæt.

Hvis c bliver større, strækkes helicoiden mere ud langs aksen.

Én enkelt parameter kan altså ændre hele formens proportioner.

En minimalflade

Men helicoiden er ikke blot interessant, fordi den snor sig.

Den tilhører en særlig klasse af geometriske objekter:

minimalflader.

En minimalflade har:

middelkrumning H = 0

i hvert regulært punkt.

Middelkrumningen kan udtrykkes gennem fladens to hovedkrumninger:

H = (k₁ + k₂)/2

For en minimalflade gælder derfor:

k₁ + k₂ = 0

De to hovedkrumninger balancerer hinanden.

Fladen bøjer i én retning og modsat i en anden.

Hvad betyder minimal?

Navnet kan være lidt misvisende.

Det betyder ikke nødvendigvis:

den mindste flade, man kan forestille sig.

Minimal henviser til et variationsprincip.

Hvis man foretager en lille lokal deformation af fladen, er den første variation af arealet nul.

Minimalflader er derfor tæt knyttet til problemer, hvor naturen forsøger at minimere:

areal.

Sæbefilm

Den klassiske fysiske analogi er:

sæbefilm.

Dypper man en trådramme i sæbevand, vil filmen søge mod en konfiguration med lav overfladeenergi.

Fordi overfladeenergien omtrent er proportional med arealet, opstår der ofte:

minimalflader.

Matematikken bag en abstrakt geometrisk flade kan dermed dukke direkte op i et fysisk eksperiment.

Helicoiden og katenoiden

Helicoiden har en berømt matematisk slægtning:

katenoiden.

Katenoiden ligner en timeglasformet eller indsnævret cylinder og kan dannes ved at rotere en katenær kurve omkring en akse.

Både:

helicoiden

og:

katenoiden

er minimalflader.

Endnu mere fascinerende er, at de kan forbindes gennem en kontinuerlig familie af minimalflader.

Den ene form kan matematisk deformeres mod den anden, mens minimalfladeegenskaben bevares.

Gaussisk krumning

En anden vigtig størrelse er den Gaussiske krumning:

K = k₁k₂

På en minimalflade gælder:

k₂ = −k₁

og dermed:

K = −k₁² ≤ 0

Helicoiden har derfor negativ Gaussisk krumning væk fra de degenererede grænsetilfælde.

Det fortæller os noget vigtigt om dens lokale geometri.

Den har en:

saddelagtig krumning.

Saddelformen gemmer sig i spiralen

Ser man kun på helicoidens overordnede silhuet, ligner den måske mest en spiral.

Men zoomer vi ind på et lille område, afsløres en anden geometri.

Fladen bøjer:

opad i én retning

og:

nedad i den vinkelrette retning.

Det er karakteristisk for negativ krumning.

På den måde kombinerer helicoiden to meget forskellige visuelle egenskaber:

spiralens rotation

og:

sadlens lokale geometri.

En uendelig flade

Den matematiske helicoid har ingen naturlig begyndelse eller slutning.

Parametrene kan fortsætte:

u ∈ ℝ

og:

v ∈ ℝ

Rotationen kan derfor fortsætte igen og igen.

Opad.

Nedad.

Ud fra centrum.

Fladen er i sin idealiserede matematiske form:

uendelig.

Det, vi ser i motivet, er kun et udsnit af denne struktur.

Skruesymmetri

En almindelig rotationssymmetri betyder, at en figur bevares under en bestemt rotation.

Helicoiden har en mere interessant symmetri.

Vi kombinerer:

rotation

med:

translation.

Hvis vi roterer fladen omkring dens akse med vinklen α og samtidig forskyder den langs aksen med:

cα

kommer fladen til at falde sammen med sig selv igen.

Dette kaldes:

skruesymmetri.

Fra skruer til molekyler

Skruesymmetri findes mange steder i naturvidenskaben.

Et kendt eksempel er:

DNA’s dobbelthelix.

DNA er naturligvis ikke en helicoid, men den geometriske idé om en struktur, der kombinerer rotation med translation langs en akse, er beslægtet.

Helikale symmetrier findes også i:

proteiner,

krystalstrukturer,

biologiske filamenter

og:

molekylære organisationer.

Geometrien giver et sprog til at beskrive strukturer på meget forskellige skalaer.

Differentialgeometri

Helicoiden hører naturligt hjemme i:

differentialgeometrien.

Her undersøger man kurver og flader ved hjælp af differentialregning.

Man studerer blandt andet:

tangentplaner,

normalvektorer,

krumning,

geodæter

og:

metrik.

For helicoiden kan vi begynde med de partielle afledte:

Xᵤ = (cos v, sin v, 0)

og:

Xᵥ = (−u sin v, u cos v, c)

Disse to vektorer ligger tangentielt til fladen.

Tangentplanet

I hvert regulært punkt spænder:

Xᵤ og Xᵥ

et tangentplan op.

Deres krydsprodukt:

Xᵤ × Xᵥ

giver en normalretning til fladen.

Dermed kan vi matematisk beskrive, hvordan fladen er orienteret:

i hvert eneste punkt.

Det er denne lokale information, der gør det muligt at beregne fladens krumning.

Geometri som et lokalt studie

Det interessante ved differentialgeometri er, at en meget kompleks global form kan undersøges gennem små lokale områder.

I et ekstremt lille område ser en glat flade næsten plan ud.

Men hvordan tangentplanet ændrer sig fra punkt til punkt afslører:

krumningen.

Vi kan derfor forstå den store spiralform ved at undersøge:

uendeligt små ændringer.

Det er differentialregningens idé anvendt på geometri.

Minimalflader og arkitektur

Minimalflader har også inspireret arkitektur og konstruktion.

Deres geometri kan være interessant, fordi komplekse former kan kombinere:

lethed,

kontinuitet

og:

effektiv fordeling af struktur.

Arkitekter og ingeniører har derfor undersøgt sæbefilmsmodeller og minimalflader i forbindelse med blandt andet:

membrankonstruktioner

og:

rumlige skaller.

Her bliver matematikken et redskab til formgivning.

Computeren gør fladen synlig

En helicoid er særlig velegnet til generativ grafik.

Vi vælger et gitter af værdier:

u₀, u₁, u₂ …

og:

v₀, v₁, v₂ …

For hvert par beregner vi:

X(u,v)

Derefter forbinder vi punkterne langs de to parameterretninger.

Resultatet bliver det trådnet, der gør den tredimensionelle struktur synlig.

Motivet viser dermed ikke blot fladen.

Det viser også:

dens koordinatsystem.

Matematiske koordinater bliver til design

Hver linje i trådnettet kan forstås som en kurve, hvor én parameter holdes konstant.

Når:

v = konstant

får vi rette linjer.

Når:

u = konstant

får vi helixer.

De to kurvefamilier krydser hinanden og skaber nettet.

Det, der visuelt opleves som et fint grafisk mønster, er derfor direkte forbundet med:

fladens matematiske parametrisering.

Rotation + translation = helicoid

Helicoidens grundidé kan sammenfattes meget enkelt:

Tag:

en linje.

Tilføj:

rotation.

Tilføj:

translation.

Gentag kontinuerligt.

Resultatet bliver en af differentialgeometriens klassiske flader.

Det er næsten overraskende, hvor lidt der skal til.

Fra enkel regel til rumlig kompleksitet

Motivet er derfor et godt eksempel på et gennemgående tema i Science-kollektionen.

En matematisk regel kan være:

meget enkel.

Men når den får lov til at udfolde sig gennem mange punkter og gentagelser, kan resultatet blive:

visuelt komplekst.

Helicoiden behøver ingen ornamenter.

Selve ligningen skaber formen.

Badeforhænget er fremstillet i polyesterstof med et blødt og tekstilt fald. Stoffet kan vaskes og stryges.

Hos smuktbad.dk fås badeforhænget i alle størrelser – også skræddersyet efter individuelle mål. Designet er eksklusivt og findes kun hos smuktbad.dk. Du kan desuden vælge rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd.

Højdepunkter

• Inspireret af helicoiden – en klassisk minimalflade fra differentialgeometrien
• Trådnettet viser samspillet mellem rette linjer, helixer og tredimensional krumning
• Et minimalistisk Science design skabt af rotation, translation og matematiske koordinater

Badeforhængets fordele

• Fås i alle størrelser – også skræddersyet efter mål
• Fremstillet i polyesterstof, som kan vaskes og stryges
• Mulighed for rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd

En ret linje virker ikke som begyndelsen på noget særligt kompliceret.

Men lad den rotere.

Flyt den samtidig gennem rummet.

Og fortsæt.

Linjen bliver til en flade.

Fladen bliver til en spiral.

Og spiralen viser sig at være en minimalflade med en hel differentialgeometri gemt i sin struktur.

Det er netop den transformation, motivet fastholder:

Fra en enkel bevægelse til en kompleks form.