Badeforhæng med harmoniske stjernekurver – matematisk Science design

Harmoniske stjernekurver – når en sinusbevægelse løber rundt om et centrum

Vi er vant til at tegne funktioner i et koordinatsystem.

En vandret x-akse.

En lodret y-akse.

Et punkt beskrives som:

(x,y)

Men der findes en anden måde.

I stedet kan vi spørge:

Hvor langt er punktet fra centrum?

Og i hvilken retning ligger det?

Så bruger vi polære koordinater.

Et punkt beskrives nu som:

(r,θ)

Her er r afstanden fra centrum, mens θ er vinklen.

Forbindelsen til de almindelige koordinater er:

x = r cos(θ)

y = r sin(θ)

Hvis r er konstant:

r = R

får vi en cirkel.

Uanset hvilken vinkel θ vi vælger, ligger punktet altid samme afstand fra centrum.

Men lad os nu gøre radius variabel.

Vi kan eksempelvis skrive:

r(θ) = R + A cos(nθ)

Nu ændrer afstanden til centrum sig, mens vi bevæger os rundt gennem vinklen θ.

R bestemmer figurens grundradius.

A bestemmer størrelsen af variationen.

Og n bestemmer, hvor mange gange variationen gentages under én omdrejning.

Hvis:

n = 1

får vi én harmonisk variation.

Hvis:

n = 2

gentages den to gange.

Hvis:

n = 6

får vi seks perioder omkring centrum:

r(θ) = R + A cos(6θ)

Det giver netop den type seksfoldige struktur, motivet viser.

Hvor cos(6θ) har maksimum, vokser radius.

Kurven bevæger sig udad.

Hvor funktionen har minimum, trækkes kurven ind mod centrum.

Resultatet bliver seks toppe og seks dale.

En bølge er blevet foldet rundt om et punkt.

Det er en interessant geometrisk transformation.

Den velkendte cosinusfunktion:

y = cos(x)

bevæger sig op og ned langs en akse.

Men i det polære koordinatsystem kan den samme periodicitet styre afstanden fra centrum.

I stedet for en bølgende linje får vi radial symmetri.

Matematikken er beslægtet.

Visualiseringen er helt anderledes.

Den seksfoldige symmetri kan beskrives mere præcist.

Hvis kurven er uændret efter en rotation på:

2π/6 = π/3

har den rotationssymmetri af orden 6.

Det betyder, at vi kan dreje figuren:

60°

og få den samme struktur igen.

Matematisk kan det udtrykkes:

r(θ + π/3) = r(θ)

For funktionen:

r(θ) = R + A cos(6θ)

kan vi kontrollere det:

cos(6(θ + π/3))

=

cos(6θ + 2π)

=

cos(6θ)

Funktionen er derfor præcis den samme efter rotationen.

Symmetrien er ikke noget, der efterfølgende er tilføjet til tegningen.

Den findes allerede i ligningen.

Det er et centralt princip i matematisk design.

En parameter kan bestemme en hel visuel struktur.

På motivet ser vi ikke blot én kurve.

Vi ser en familie af kurver.

De kan tænkes som:

r₁(θ), r₂(θ), r₃(θ), …, rₙ(θ)

hvor parametrene ændres gradvist.

En simpel familie kunne være:

rₖ(θ) = Rₖ + Aₖ cos(6θ)

Når Rₖ vokser, bevæger kurven sig længere væk fra centrum.

Hvis Aₖ samtidig ændres, forandres forholdet mellem toppene og dalene.

Dermed kan en lille, tydelig stjerne i centrum gradvist udvikle sig til større og blødere former.

Det er netop denne transformation, der giver motivet dets særlige dybde.

Kurverne er ikke blot kopier i forskellige størrelser.

Deres geometri udvikler sig.

Vi kan også beskrive motivet som en form for niveaulinjer.

Forestil dig en todimensional funktion:

F(x,y)

Hvis vi tegner alle punkter, hvor:

F(x,y) = c

får vi en niveaukurve.

Vælger vi flere værdier:

c₁, c₂, c₃, …, cₙ

får vi flere indlejrede kurver.

På et topografisk kort repræsenterer sådanne linjer forskellige højder.

Her kan de i stedet repræsentere forskellige værdier i et matematisk felt med seksfoldig symmetri.

Motivet befinder sig derfor i krydsfeltet mellem polære kurver og konturvisualisering.

Det er også interessant, at lignende symmetrier optræder i naturvidenskaben.

Seksfoldig symmetri findes blandt andet i krystalstrukturer og snekrystaller.

Den opstår ikke, fordi naturen forsøger at skabe dekorative stjerner.

Den opstår gennem fysiske og geometriske regler.

Når identiske strukturer organiserer sig under bestemte lokale betingelser, kan symmetri vokse frem som en konsekvens.

Matematikken hjælper os med at beskrive denne orden.

Harmoniske funktioner er særligt vigtige.

Sinus og cosinus optræder overalt i fysikken:

bølger,

svingninger,

lyd,

lys,

elektromagnetisme

og kvantemekanik.

En harmonisk funktion kan skrives:

f(θ) = A cos(nθ + φ)

Her er A amplituden.

n er frekvensen.

φ er fasen.

Når denne funktion bruges som en radial deformation, bliver de fysiske begreber samtidig geometriske parametre.

Amplituden bestemmer, hvor kraftigt formen bølger.

Frekvensen bestemmer antallet af gentagelser.

Fasen bestemmer orienteringen.

Ændrer vi φ:

r(θ) = R + A cos(6θ + φ)

roterer mønstret omkring centrum.

Ligningen og geometrien hænger direkte sammen.

Vi kan også kombinere flere harmoniske led:

r(θ) = R + A cos(6θ) + B cos(12θ)

Nu tilføjes en højere frekvens.

Grundformen har stadig sin seksfoldige organisation, men mindre detaljer kan opstå langs kanten.

Fortsætter vi:

r(θ) = R + Σ Aₙ cos(nθ + φₙ)

kan stadig mere komplekse radiale former bygges af simple harmoniske komponenter.

Her møder vi igen idéen bag Fourier-analyse.

Kompleks form kan konstrueres af simple bølger.

Det giver motivet en interessant forbindelse mellem geometri og signalanalyse.

Det, vi ser som en stjerneform, kan matematisk forstås som variation i frekvens og amplitude.

Motivets mange parallelle kurver gør transformationen særlig tydelig.

I centrum er formen lille og kompakt.

Lag efter lag vokser den.

Kurverne følger hinanden, men ændrer gradvist karakter.

Øjet oplever næsten bevægelse ud fra centrum.

Alligevel er hele konstruktionen statisk.

Det er matematikken, der skaber fornemmelsen af ekspansion.

Motivet viser derfor noget centralt ved Science-kollektionen.

Matematik behøver ikke skjules bag et dekorativt motiv.

Ligningen kan selv være designværktøjet.

En vinkel.

En radius.

En cosinusfunktion.

En frekvens på seks.

Det er nok til at skabe en hel familie af former.

Fra bølge til stjerne.

Fra funktion til geometri.

Fra matematik til design.

Badeforhænget er fremstillet i polyesterstof med et blødt og tekstilt fald. Stoffet kan vaskes og stryges.

Hos smuktbad.dk fås badeforhænget i alle størrelser – også skræddersyet efter individuelle mål. Designet er eksklusivt og findes kun hos smuktbad.dk. Du kan desuden vælge rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd.

Højdepunkter

• Inspireret af polære funktioner og harmoniske stjernekurver
• Seksfoldig rotationssymmetri skabt gennem periodisk variation
• Forbinder trigonometri, geometri, bølger og symmetri

Badeforhængets fordele

• Fås i alle størrelser – også skræddersyet efter mål
• Fremstillet i polyesterstof, som kan vaskes og stryges
• Mulighed for rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd

Begynd med en cirkel.

Lad dens radius bevæge sig som en bølge.

Ikke én gang.

Seks gange under hver omdrejning.

Cirklen er ikke længere en cirkel.

Den får toppe og dale.

En stjerne vokser frem.

Tegn ligningen igen med nye parametre.

Og igen.

Lag efter lag opstår en hel familie af kurver.

Det er ikke ornamentik lagt oven på matematikken.

Ornamentikken er matematikken.