Badeforhæng med harmonisk roset – matematisk Science design

Den harmoniske roset – når rotation og svingninger skaber symmetri

Se først på én kurve.

Den kan være enkel.

For eksempel kan en periodisk bevægelse beskrives med:

x(t) = A cos(ω₁t + φ₁)

y(t) = B sin(ω₂t + φ₂)

To svingninger.

To retninger.

Én bane.

Men hvad sker der, hvis vi ikke nøjes med at tegne kurven én gang?

Vi roterer den.

Og gentager den.

Igen.

Og igen.

Resultatet kan blive:

en harmonisk roset.

Fra kurve til roset

En rotation i planen kan beskrives med rotationsmatricen:

R(θ) = [cos θ −sin θ; sin θ cos θ]

Har vi et punkt:

p = (x,y)

kan det roterede punkt skrives:

p’ = R(θ)p

Dermed kan én matematisk kurve kopieres og drejes præcist omkring et fælles centrum.

Vælger vi eksempelvis:

θₖ = 2πk/n

for:

k = 0, 1, 2, …, n−1

fordeles n kopier jævnt over en hel rotation.

Rotationssymmetri

Hvis figuren ser uændret ud efter en rotation på:

2π/n

siger vi, at den har:

n-fold rotationssymmetri.

En seksfold symmetri gentager sig eksempelvis efter:

60°

fordi:

360°/6 = 60°

Det er den samme type matematiske regelmæssighed, vi finder i blandt andet:

snekrystaller,

krystalstrukturer,

blomsterformer

og:

geometriske ornamenter.

Periodiske funktioner

Sinus og cosinus er periodiske:

sin(t + 2π) = sin(t)

cos(t + 2π) = cos(t)

De gentager altså deres værdier efter én hel periode.

Når periodiske funktioner kombineres med rotationssymmetri, mødes to forskellige former for gentagelse:

gentagelse gennem tiden

og:

gentagelse gennem vinklen.

Det er denne kombination, der kan skabe den meget organiserede kompleksitet i motivet.

Frekvensforhold

Lad os vælge:

x(t) = cos(at)

y(t) = sin(bt)

Hvis:

a = b

får vi en enkel ellipse eller cirkel afhængigt af amplituder og fase.

Men hvis:

a ≠ b

opstår mere komplekse baner.

Forhold som:

2:3

3:4

eller:

5:7

kan skabe kurver med forskellige antal løkker og krydsninger.

Frekvensforholdet bliver dermed:

en geometrisk parameter.

Fase

Vi kan også forskyde én af svingningerne:

x(t) = A cos(at + φ)

Fasevinklen:

φ

bestemmer, hvor i sin cyklus bevægelsen begynder.

En lille faseændring kan flytte krydsninger, ændre løkkernes form og bryde eller skabe symmetrier.

Det betyder, at en tilsyneladende lille ændring i ligningen kan ændre:

hele figurens visuelle karakter.

Polar beskrivelse

Rosetlignende kurver kan også beskrives i polære koordinater.

Her angives et punkt ikke med x og y, men med:

r

og:

θ

hvor r er afstanden fra centrum og θ er vinklen.

En klassisk rosenkurve kan eksempelvis skrives:

r = cos(kθ)

eller:

r = sin(kθ)

Værdien af k bestemmer antallet og organisationen af kurvens kronblade.

Rosenkurven

Hvis:

r = cos(3θ)

opstår en trebladet roset.

Hvis:

r = cos(5θ)

får vi fem kronblade.

For heltallige værdier af k følger antallet af kronblade en præcis matematisk regel, afhængigt af om k er lige eller ulige.

En enkelt parameter kan altså bestemme:

hele figurens symmetri.

Men motivet er mere komplekst

Designet på badeforhænget ligner ikke blot én klassisk rosenkurve.

Det interessante er netop de mange overlappende baner.

Vi kan forestille os en familie:

rₙ(θ) = Aₙ + Bₙ cos(kθ + φₙ)

hvor parametrene ændres en smule fra kurve til kurve.

Hver kurve er beslægtet med den foregående.

Sammen danner de:

en kurvefamilie.

En parameterfamilie

Matematisk kan vi skrive en mere generel familie:

C(t,λ)

Her beskriver:

t

positionen langs den enkelte kurve,

mens:

λ

vælger, hvilken kurve i familien vi ser på.

Når λ ændres gradvist, kan kurven:

udvide sig,

rotere,

forskydes,

ændre fase

eller:

ændre frekvens.

Det skaber den lagdelte struktur, vi ser i motivet.

Interferens uden bølger

Når mange tynde linjer ligger tæt og krydser hinanden, opstår områder, der visuelt ser mørkere ud.

Ingen af linjerne behøver være tykkere.

Det er blot:

linjetætheden

der ændres.

Øjet oplever derfor næsten et interferensmønster.

Det minder om det, der sker, når to regelmæssige gitre lægges oven på hinanden.

Moiré

To næsten ens periodiske mønstre kan skabe et tredje, større visuelt mønster.

Dette kaldes:

moiré.

Et simpelt eksempel er to sæt parallelle linjer, der drejes ganske lidt i forhold til hinanden.

De enkelte linjer er stadig ens.

Men sammen ser vi store bølgende strukturer.

I rosetten opstår en beslægtet effekt gennem:

mange overlappende kurver med forskellige retninger.

Lokal og global struktur

Zoomer vi helt ind på motivet, ser vi:

enkeltlinjer.

Trækker vi os lidt tilbage, ser vi:

krydsninger og net.

Trækker vi os endnu længere tilbage, ser vi:

en stjerne eller blomst.

Det samme matematiske objekt har dermed struktur på flere skalaer.

Det lokale mønster og den globale form er forskellige.

Symmetrigruppen

Symmetri kan beskrives mere præcist gennem:

gruppeteori.

En figur med rotationssymmetri kan være invariant under en samling transformationer.

Hvis rotationerne alene indgår, får vi den cykliske gruppe:

Cₙ

Indgår også spejlinger, kan symmetrien beskrives af:

den dihedrale gruppe Dₙ.

Et dekorativt mønster kan dermed analyseres gennem abstrakt algebra.

Gentagelse som operation

Det interessante er, at symmetrien ikke blot beskriver, hvordan motivet ser ud.

Den fortæller også:

hvordan motivet kan konstrueres.

Vi kan begynde med ét element.

Derefter anvende en transformation:

T

gentagne gange:

C, T(C), T²(C), T³(C), …

Efter et bestemt antal transformationer vender systemet tilbage til udgangspunktet.

Design bliver dermed:

en matematisk proces.

Komplekse tal

Rotation kan også beskrives elegant med komplekse tal.

Et punkt i planen skrives:

z = x + iy

Multiplicerer vi med:

e^(iθ)

får vi:

z’ = ze^(iθ)

Dette roterer punktet med vinklen θ.

Eulers formel:

e^(iθ) = cos θ + i sin θ

binder dermed eksponentialfunktionen, trigonometrien og rotation sammen.

Euler i motivet

En af matematikkens berømte identiteter er:

e^(iπ) + 1 = 0

Men Eulers formel er langt mere end en smuk identitet.

Den giver os et naturligt sprog for:

periodicitet og rotation.

Netop de to egenskaber, der er centrale for motivets konstruktion.

Fourier-serier

Komplekse periodiske former kan også bygges af simple harmoniske komponenter.

En Fourier-serie kan skrives:

f(t) = Σ cₙe^(inωt)

Hvert led repræsenterer en roterende harmonisk komponent.

Når komponenterne lægges sammen, kan de skabe:

komplekse kurver.

På den måde kan selv meget indviklede konturer forstås som kombinationer af simple periodiske bevægelser.

Epicykler

Historisk blev kombinationer af cirkulære bevægelser brugt i astronomiske modeller.

En cirkel kunne bevæge sig langs en anden cirkel.

Og endnu en cirkel kunne bevæge sig oven på den.

Sådanne konstruktioner kaldes:

epicykler.

Matematisk minder de om Fourier-beskrivelser, hvor flere roterende komponenter summeres.

En sum af rotationer

Vi kan eksempelvis beskrive en kurve som:

z(t) = Σ aₙe^(iωₙt)

Hvert led er en cirkulær bevægelse.

Men summen kan tegne en form, der slet ikke ligner en cirkel.

Enkel rotation kan altså være byggesten for:

meget kompleks geometri.

Harmoni

Ordet harmonisk bruges i matematik og fysik om periodiske komponenter med bestemte frekvensrelationer.

En grundfrekvens:

f

kan ledsages af harmoniske frekvenser:

2f, 3f, 4f, …

Det kender vi især fra lyd.

Men de samme matematiske relationer kan omsættes til:

visuelle mønstre.

Fra lyd til form

En tone kan beskrives som en funktion af tiden.

En grafisk kurve kan beskrives med de samme typer sinus- og cosinusfunktioner.

Det betyder ikke, at motivet bogstaveligt viser en bestemt lyd.

Men matematikken bag vibrationer og matematikken bag kurvens rytme deler:

det samme periodiske sprog.

Resonans og rationelle forhold

Når frekvenser står i simple heltalsforhold, opstår regelmæssige gentagelser.

Hvis to frekvenser eksempelvis har forholdet:

3:2

vil deres relative faser efter et bestemt tidsrum gentage sig.

Det giver lukkede og regelmæssige parametriske figurer.

Hvis forholdet er irrationelt, ændrer situationen sig.

Banen kan fortsætte uden præcis at lukke sig.

Orden gennem tal

Motivets symmetri ser næsten organisk ud.

Men den kan frembringes af noget meget abstrakt:

talforhold.

Hvor mange gentagelser?

Hvor stor rotation?

Hvilken fase?

Hvilket frekvensforhold?

Svarene bestemmer formen.

Designets æstetik ligger derfor ikke oven på matematikken.

Den opstår:

fra matematikken.

Naturens radiale symmetri

Radiale mønstre findes mange steder i naturen.

Vi ser dem i:

blomster,

søpindsvin,

vandmænd,

krystaller,

frøstande

og:

bølger omkring et punkt.

De biologiske processer er naturligvis langt mere komplekse end en simpel rosetligning.

Men symmetriprincippet er beslægtet:

en struktur organiseres omkring et centrum.

Generativ kunst

I generativ kunst definerer kunstneren ikke nødvendigvis hver enkelt linje.

I stedet defineres:

regler,

parametre

og:

transformationer.

Computeren udfører derefter processen.

Det betyder ikke, at designeren forsvinder.

Designopgaven flyttes.

Fra:

Hvor skal denne linje ligge?

til:

Hvilken regel skal skabe linjerne?

Parameteren som designværktøj

Forestil dig, at vi ændrer rotationsvinklen fra:

30°

til:

29,8°

En forskel på blot:

0,2°

kan efter mange gentagelser akkumulere.

Kurver, der tidligere lå oven i hinanden, forskydes gradvist.

Der opstår:

nye fortætninger og nye mønstre.

Små numeriske ændringer kan altså få store visuelle konsekvenser.

Emergens

Dette leder til begrebet:

emergens.

Et emergent mønster har egenskaber, der ikke er tydelige i de enkelte byggesten.

Én kurve er enkel.

To kurver er stadig overskuelige.

Men hundrede systematisk transformerede kurver kan skabe en struktur, der opleves som:

noget helt nyt.

Helheden får en visuel karakter, som ingen enkelt linje har alene.

Motivets centrum

I designet samles et meget stort antal linjer omkring centrum.

Det skaber et område med høj geometrisk informationstæthed.

Her bliver selv små forskelle mellem kurverne synlige som:

krydsninger,

mikromønstre

og:

fortætninger.

Ud mod kanten bliver de samme kurver mere adskilte og læselige.

Vi bevæger os visuelt fra:

kompleksitet til enkelhed.

Matematik som ornament

Mennesker har brugt rotationssymmetri i ornamentik gennem årtusinder.

Men matematisk visualisering giver os mulighed for at skabe ornamenter, hvor formen ikke blot er geometrisk inspireret.

Den kan være:

direkte genereret af ligninger.

Dekoration og matematisk struktur bliver dermed den samme ting.

Én regel, mange linjer

Det fascinerende ved motivet er derfor ikke alene dets stjerneform.

Det er forholdet mellem:

simpel regel

og:

komplekst resultat.

Vi kan skabe hundredvis af linjer uden at definere hundredvis af forskellige former.

Vi behøver kun en matematisk transformation og:

gentagelse.

Badeforhænget er fremstillet i polyesterstof med et blødt og tekstilt fald. Stoffet kan vaskes og stryges.

Hos smuktbad.dk fås badeforhænget i alle størrelser – også skræddersyet efter individuelle mål. Designet er eksklusivt og findes kun hos smuktbad.dk. Du kan desuden vælge rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd.

Højdepunkter

• Harmonisk roset med kompleks radial symmetri
• Inspireret af periodiske funktioner, rotation og parametrisk geometri
• Mange enkle kurver danner et komplekst generativt mønster

Badeforhængets fordele

• Fås i alle størrelser – også skræddersyet efter mål
• Fremstillet i polyesterstof, som kan vaskes og stryges
• Mulighed for rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd

Én kurve.

Drej den.

Gentag den.

Forskyd den en anelse.

Og gentag igen.

På et tidspunkt holder øjet op med at se de enkelte linjer.

I stedet opstår:

en stjerne.

Et mønster.

En helhed.

Den komplekse form var ikke tegnet på forhånd.

Den voksede frem af:

en regel.