Badeforhæng med Cassini-ovaler – matematisk Science design

Cassini-ovaler – geometri omkring to brændpunkter

To punkter.

Det er nok til at skabe hele motivet.

Lad os placere dem symmetrisk omkring centrum:

F₁ = (−a,0)

F₂ = (a,0)

For et vilkårligt punkt:

P = (x,y)

kan vi beregne afstanden til de to brændpunkter.

Afstanden til det første er:

r₁ = √[(x+a)² + y²]

og til det andet:

r₂ = √[(x−a)² + y²]

Nu vælger vi en simpel regel:

r₁r₂ = b²

Produktet af de to afstande skal altså være konstant.

Alle punkter, der opfylder denne betingelse, danner en Cassini-oval.

Det er interessant at sammenligne med ellipsen.

For en ellipse gælder:

r₁ + r₂ = konstant

For en Cassini-oval gælder:

r₁r₂ = konstant

Sum bliver erstattet af produkt.

Det lyder som en lille matematisk ændring.

Geometrisk er konsekvensen dramatisk.

Indsætter vi afstandene i ligningen, får vi:

√[(x+a)²+y²] · √[(x−a)²+y²] = b²

Kvadrerer vi begge sider:

[(x+a)²+y²][(x−a)²+y²] = b⁴

Det kan omskrives til:

(x² + y² + a²)² − 4a²x² = b⁴

Det er den kartesiske ligning for en Cassini-oval.

Men det er variationen af parameteren:

b

der skaber motivets forskellige kurver.

Forholdet mellem:

a

og:

b

bestemmer nemlig kurvens topologi.

Hvis:

b < a

består kurven af to separate løkker.

Den ene ligger omkring det ene brændpunkt.

Den anden omkring det andet.

Det ser vi i motivets inderste kurver.

De to punkter har hver deres geometriske område.

Når b vokser, bliver løkkerne større.

De nærmer sig hinanden.

Så sker noget særligt ved:

b = a

Her mødes de to løkker præcis i centrum.

Resultatet er Bernoullis lemniskate.

Den karakteristiske figur ligner:

∞

Et liggende ottetal.

Det er netop denne overgang, der ses centralt i motivet.

Lemniskaten kan skrives:

(x² + y²)² = 2a²(x² − y²)

hvis koordinatsystemet orienteres på den traditionelle måde.

I polære koordinater får vi den elegante form:

r² = 2a² cos(2θ)

Lemniskaten er altså ikke blot en dekorativ figur.

Den er et matematisk grænsetilfælde.

På den ene side af parameteren har vi to adskilte kurver.

På den anden side har vi én sammenhængende kurve.

Præcis ved grænsen mødes de.

Hvis:

b > a

smelter de to løkker sammen.

Nu omslutter én kurve begge brændpunkter.

I begyndelsen har den en tydelig indsnævring omkring midten.

Når b bliver større, bliver indsnævringen mindre.

Kurven bliver gradvist mere oval.

Og når b bliver meget stor i forhold til a, begynder formen at nærme sig en cirkel.

Det betyder, at motivet faktisk viser en matematisk transformation.

To næsten selvstændige cirkulære systemer.

De vokser.

De mødes.

De danner et ottetal.

De smelter sammen.

Til sidst bliver de næsten til én oval.

Det er en parameterstyret overgang mellem forskellige geometriske tilstande.

Vi kan også skrive Cassini-ovalerne i polære koordinater.

Med:

x = r cos θ

y = r sin θ

kan ligningen omskrives til:

r⁴ − 2a²r² cos(2θ) + a⁴ = b⁴

Her ser vi igen udtrykket:

cos(2θ)

Det giver den karakteristiske dobbelte symmetri omkring de to brændpunkter.

Motivet har spejlingssymmetri omkring både x-aksen og y-aksen.

Hvis:

(x,y)

ligger på kurven, gør:

(−x,y)

(x,−y)

og:

(−x,−y)

det også.

Derfor kan en fjerdedel af konstruktionen i princippet definere resten.

Men Cassini-ovalerne er mere end interessant geometri.

De har også en historisk forbindelse til astronomi.

Kurverne er opkaldt efter den italiensk-franske astronom Giovanni Domenico Cassini, også kendt som Jean-Dominique Cassini.

I 1600-tallet undersøgte Cassini disse kurver i forbindelse med modeller for planeternes bevægelser.

Keplers ellipser vandt naturligvis den astronomiske diskussion.

Men Cassinis kurver overlevede som et fascinerende matematisk objekt.

Og senere viste det sig, at den samme matematik dukker op andre steder i naturvidenskaben.

Cassini-lignende koordinatsystemer kan blandt andet være nyttige, når et problem har to naturlige centre.

Det kan være:

to masser,

to ladninger,

to kerner,

eller andre systemer med to særlige punkter.

Her bliver geometrien relevant for fysikken.

Hvis et fysisk system har ét centrum, er polære eller sfæriske koordinater ofte naturlige.

Hvis systemet har to centre, kan en geometri bygget omkring to brændpunkter være mere passende.

Motivet visualiserer netop dette.

De to små centrale punkter er ikke bare grafiske elementer.

De organiserer hele rummet omkring sig.

Hver kurve fortæller noget om forholdet mellem et punkt i planet og de to centre.

Vi kan eksempelvis vælge:

r₁r₂ = k

og variere:

k

For hver værdi får vi en ny niveaukurve.

Motivet bliver dermed et konturkort over funktionen:

f(x,y) = r₁r₂

eller:

f(x,y) = √[((x+a)²+y²)((x−a)²+y²)]

Hver tegnet linje forbinder punkter med samme funktionsværdi.

Det er præcis samme grundprincip som et topografisk kort.

På et landkort forbinder en højdekurve punkter med samme højde.

Her forbinder kurverne punkter med samme produkt af afstandene til to brændpunkter.

Designet kan derfor læses som et matematisk landskab.

Ikke over fysisk højde.

Men over afstandsrelationer.

Der findes også en elegant forbindelse til komplekse tal.

Lad:

z = x + iy

og placér brændpunkterne ved:

−a

og:

a

på den reelle akse.

Afstandene til brændpunkterne kan skrives:

|z+a|

og:

|z−a|

Deres produkt bliver:

|z+a||z−a|

= |(z+a)(z−a)|

= |z²−a²|

Cassini-ovalen kan derfor beskrives meget kompakt:

|z² − a²| = b²

Her reduceres hele geometrien til modulus af ét komplekst udtryk.

Det giver også en anden måde at forstå formen på.

Transformationen:

w = z² − a²

sender Cassini-ovalerne over i cirkler:

|w| = b²

Det, der ser komplekst ud i z-planet, bliver simpelt i w-planet.

En familie af Cassini-ovaler kan altså forstås som billeder af almindelige cirkler under en kompleks transformation.

Det er en smuk demonstration af, hvordan matematik kan ændre vores syn på form.

En kompliceret kurve i ét koordinatsystem kan være en enkel cirkel i et andet.

Motivet rummer dermed flere matematiske lag.

Afstandsgeometri.

Algebra.

Polære koordinater.

Niveaukurver.

Topologi.

Komplekse tal.

Og forbindelser til naturvidenskabelige systemer med to centre.

Visuelt er konstruktionen næsten minimalistisk.

To punkter.

En række tynde sorte linjer.

En hvid baggrund.

Men den matematiske struktur er rig.

Særligt interessant er overgangen omkring lemniskaten.

Vi kan se en ændring i topologien.

Før overgangen består løsningen af:

to lukkede komponenter.

Efter overgangen består den af:

én lukket komponent.

Ved den kritiske værdi mødes komponenterne i ét punkt.

Det er en meget konkret måde at visualisere noget, der ellers kan lyde abstrakt:

En kontinuerlig ændring af en parameter kan ændre en figurs topologi.

Kurverne bevæger sig gradvist.

Alligevel sker der på et bestemt tidspunkt en kvalitativ ændring.

To bliver til én.

Det er præcis denne type overgang, der gør matematiske visualiseringer så fascinerende som design.

Formen er ikke valgt bagefter for at være dekorativ.

Den vokser direkte ud af ligningen.

Hvis designet genereres algoritmisk, er princippet enkelt.

Vælg:

a

Vælg en række værdier:

b₁, b₂, b₃ … bₙ

For hver værdi løses:

(x² + y² + a²)² − 4a²x² = b⁴

Tegn niveaukurven.

Gentag.

Resultatet er familien af linjer, vi ser i motivet.

Matematikken bestemmer:

hvor de to indre systemer ligger,

hvornår de mødes,

hvordan indsnævringen opstår,

og hvordan de ydre kurver bliver stadig mere ovale.

Det er generativt design i sin reneste form.

Man designer ikke hver kurve.

Man designer reglen.

Kurverne følger efter.

Badeforhænget er fremstillet i polyesterstof med et blødt og tekstilt fald. Stoffet kan vaskes og stryges.

Hos smuktbad.dk fås badeforhænget i alle størrelser – også skræddersyet efter individuelle mål. Designet er eksklusivt og findes kun hos smuktbad.dk. Du kan desuden vælge rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd.

Højdepunkter

• Inspireret af Cassini-ovaler og Bernoullis lemniskate
• Visualiserer matematiske afstandsrelationer omkring to brændpunkter
• Forbinder geometri, astronomi, topologi og komplekse tal

Badeforhængets fordele

• Fås i alle størrelser – også skræddersyet efter mål
• Fremstillet i polyesterstof, som kan vaskes og stryges
• Mulighed for rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd

To punkter er udgangspunktet.

Omkring dem vokser en hel familie af former frem.

Først eksisterer de hver for sig. Så mødes de i lemniskatens liggende ottetal. Derefter smelter de sammen til én form.

Det er svært at skelne mellem matematikken og det visuelle design, fordi de her er det samme.

Ændrer vi blot én parameter i ligningen, forandres hele formen.