Badeforhæng med bipolære koordinater – matematisk Science design

Bipolære koordinater – et matematisk rum omkring to poler

Vi er vant til et koordinatsystem med to akser.

x

og:

y

De krydser hinanden vinkelret.

Et punkt beskrives som:

(x,y)

Men det kartesiske koordinatsystem er kun én måde at organisere et plan på.

Hvis geometrien i et problem har et naturligt centrum, kan polære koordinater være mere hensigtsmæssige.

Her beskrives et punkt ved:

(r,θ)

Men hvad hvis problemet har:

to centre?

Så findes der et koordinatsystem bygget netop til dette.

Bipolære koordinater.

Lad de to poler ligge ved:

(−a,0)

og:

(a,0)

Nu introducerer vi koordinaterne:

σ

og:

τ

En almindelig transformation til kartesiske koordinater er:

x = a sinh τ / (cosh τ − cos σ)

y = a sin σ / (cosh τ − cos σ)

Allerede her ser vi, at almindelig trigonometri:

sin σ

cos σ

kombineres med de hyperbolske funktioner:

sinh τ

cosh τ

Det er denne kombination, der skaber det karakteristiske net i motivet.

Holder vi:

τ = konstant

får vi én familie af cirkler.

Holder vi i stedet:

σ = konstant

får vi en anden familie af cirkler.

De to cirkelfamilier skærer hinanden ortogonalt.

Det betyder:

90°

i hvert skæringspunkt.

Det er præcis det, der gør nettet til et ortogonalt koordinatsystem.

I et kartesisk koordinatsystem er koordinatlinjerne rette.

I polære koordinater er den ene familie cirkler og den anden rette radiale linjer.

I bipolære koordinater er begge familier i udgangspunktet cirkler.

Geometrien har ændret koordinatsystemets udseende.

Men det grundlæggende princip er det samme:

To koordinater bestemmer et punkt.

Vi kan forstå den ene koordinat gennem afstandene til de to poler.

Lad:

r₁

være afstanden til den ene pol og:

r₂

afstanden til den anden.

Så kan den bipolære koordinat τ knyttes til forholdet:

r₁/r₂ = e^τ

eller ækvivalent:

τ = ln(r₁/r₂)

Det er en meget interessant relation.

τ fortæller ikke blot, hvor langt et punkt ligger fra et bestemt centrum.

Den beskriver forholdet mellem punktets afstande til begge poler.

Hvis:

τ = 0

så gælder:

r₁ = r₂

Punktet ligger altså lige langt fra de to poler.

Denne mængde af punkter danner den lodrette symmetriakse mellem dem.

Hvis τ bliver positiv eller negativ, forskydes forholdet mod henholdsvis den ene eller den anden pol.

Koordinatsystemet måler dermed rummet relativt til to centre på én gang.

Den anden koordinat:

σ

kan fortolkes gennem vinklerne mellem linjerne fra punktet til de to poler.

Dermed opstår et system, hvor:

afstand

og:

vinkel

kombineres omkring to faste punkter.

Det forklarer motivets meget karakteristiske symmetri.

De to mørke centrale punkter fungerer som geometriske poler.

Linjerne omkring dem er ikke tilfældigt buede.

Deres form bestemmes af relationen til begge poler.

Det giver også en tydelig forbindelse til fysikken.

Forestil dig to lange parallelle cylindriske ledere.

I et todimensionalt tværsnit ser vi dem som to cirkler.

Hvis de holdes ved forskellige elektriske potentialer, ønsker vi måske at beregne potentialet:

V(x,y)

i rummet omkring dem.

I et almindeligt kartesisk koordinatsystem kan geometrien gøre problemet besværligt.

Men i bipolære koordinater kan de to cylindriske grænser i bestemte konfigurationer beskrives som:

τ = τ₁

og:

τ = τ₂

Pludselig passer koordinatsystemet til selve fysikken.

Det kan gøre differentialligninger langt lettere at arbejde med.

Et centralt eksempel er Laplaces ligning:

∇²V = 0

Den optræder blandt andet i:

elektrostatik,

gravitation,

stationær varmeledning,

potentialstrømning

og andre fysiske felter.

I bipolære koordinater får Laplaces ligning i to dimensioner en struktur, hvor løsninger ofte kan separeres.

Det betyder, at vi kan søge løsninger af formen:

V(σ,τ) = S(σ)T(τ)

Et problem med to geometriske centre kan dermed blive reduceret til enklere ligninger i hver sin koordinat.

Her ser vi en vigtig idé fra matematisk fysik.

Det bedste koordinatsystem er ikke nødvendigvis det, vi lærte først.

Det bedste koordinatsystem er ofte det, der passer til problemets symmetri.

En planet omkring ét centrum?

Sfæriske koordinater kan være naturlige.

En lang cylinder?

Cylindriske koordinater.

To poler eller to cylindriske grænser?

Bipolære koordinater.

Matematikken tilpasser sit sprog til geometrien.

Motivets net kan også læses som niveaukurver.

Hvis et elektrisk potentiale afhænger af:

τ

kan kurver:

τ = konstant

repræsentere ekvipotentiallinjer.

Langs en ekvipotentiallinje har potentialet samme værdi.

Det elektriske felt er relateret til potentialet ved:

E = −∇V

Gradienten står vinkelret på niveaukurverne.

Derfor krydser feltlinjer og ekvipotentiallinjer hinanden ortogonalt.

Det giver en direkte fysisk parallel til motivets to kurvefamilier.

Den ene familie kan fortolkes som niveaukurver.

Den anden som deres ortogonale baner.

Det er derfor motivet intuitivt kan ligne et klassisk diagram fra elektromagnetismen.

Men her er det selve koordinatgeometrien, der er designets udgangspunkt.

Der findes også en fascinerende forbindelse til komplekse tal.

Skriver vi:

z = x + iy

kan bipolære koordinater knyttes til konforme transformationer.

Konforme transformationer bevarer vinkler lokalt.

Det er vigtigt.

Når to kurver krydser hinanden med:

90°

kan en konform afbildning bevare denne vinkel, selv om kurvernes form ændres dramatisk.

En ret linje kan blive til en cirkel.

Et simpelt rektangulært koordinatnet kan transformeres til et system af buede koordinatlinjer.

Alligevel bevares de lokale vinkler.

Det hjælper med at forklare den særlige visuelle kvalitet i motivet.

Linjerne bøjer.

Afstandene ændrer sig.

Nettet komprimeres omkring polerne.

Men den ortogonale struktur består.

Det er kontrolleret deformation.

Matematisk kan et sådant system forbindes med Möbius-transformationer og kompleks analyse, hvor cirkler og rette linjer transformeres til andre cirkler eller rette linjer.

Dermed opstår endnu en forbindelse mellem designets form og matematikken bag.

Det, der ligner et kompliceret net, kan være transformationen af noget langt enklere.

Motivet har samtidig en slående visuel egenskab omkring de to poler.

Linjerne bliver tættere.

Kurvernes krumning ændrer sig hurtigt.

Øjet trækkes automatisk mod disse områder.

Matematisk er det netop her, koordinatsystemets struktur er stærkest koncentreret.

De to punkter organiserer hele planet.

Flytter vi polerne længere fra hinanden, ændres nettet.

Flytter vi dem tættere sammen, ændres det igen.

Parameteren:

a

bestemmer deres placering.

Dermed bliver selve afstanden mellem de to poler et designparameter.

Vi kan generere et motiv som dette algoritmisk.

Vælg:

a

Vælg værdier:

σ₁, σ₂, … σₙ

og:

τ₁, τ₂, … τₘ

Beregn:

x(σ,τ)

og:

y(σ,τ)

Tegn kurverne.

Matematikken konstruerer nettet.

Vi behøver ikke manuelt beslutte, hvordan hver enkelt linje skal bøje.

Bøjningen følger af koordinattransformationen.

Det gør bipolære koordinater til et meget rent eksempel på mødet mellem matematik, videnskab og generativt design.

Det visuelle udtryk er ikke lagt oven på matematikken.

Det er et direkte billede af den.

To poler skaber et helt koordinatsystem.

Koordinatsystemet kan beskrive fysiske felter.

Felterne kan modelleres med differentialligninger.

Og differentialligningernes geometri bliver til et grafisk mønster.

Motivet viser derfor noget fundamentalt ved matematisk modellering:

Hvordan vi vælger at beskrive rummet, kan gøre en kompleks virkelighed enklere.

Badeforhænget er fremstillet i polyesterstof med et blødt og tekstilt fald. Stoffet kan vaskes og stryges.

Hos smuktbad.dk fås badeforhænget i alle størrelser – også skræddersyet efter individuelle mål. Designet er eksklusivt og findes kun hos smuktbad.dk. Du kan desuden vælge rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd.

Højdepunkter

• Inspireret af bipolære koordinater og geometri omkring to poler
• Forbinder koordinatgeometri med potentialteori og matematisk fysik
• Ortogonale kurvefamilier skaber designet direkte gennem matematiske regler

Badeforhængets fordele

• Fås i alle størrelser – også skræddersyet efter mål
• Fremstillet i polyesterstof, som kan vaskes og stryges
• Mulighed for rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd

Et koordinatsystem behøver ikke bestå af rette linjer.

Når rummet organiseres omkring to poler, bøjer koordinaterne sig omkring dem og skaber et net af cirkler, skæringer og symmetri.

Det samme system kan bruges til at beskrive fysiske felter og løse differentialligninger.

Her bliver koordinatsystemet selv til design.