Badeforhæng med bifurkationsdiagram – matematisk Science design

Bifurkation – når en simpel ligning bliver kaotisk

Start med et tal.

Lad os kalde det:

x₀

Beregn derefter et nyt tal ud fra det første.

Så endnu et.

Og endnu et.

Gentag den samme regel igen og igen.

Det lyder næsten trivielt.

Men denne proces kan føre os direkte ind i kaosteorien.

Et af de mest kendte eksempler er den logistiske afbildning:

xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ)

Her er:

xₙ

systemets værdi på tidspunkt n.

Og:

r

er en parameter, som styrer systemets udvikling.

Hvis modellen bruges til populationsdynamik, kan x repræsentere størrelsen af en population i forhold til miljøets maksimale bæreevne.

Ledet:

r xₙ

beskriver vækst.

Men faktoren:

(1 − xₙ)

begrænser væksten, når populationen bliver stor.

Vi har altså både vækst og begrænsning i én meget enkel ligning.

Det interessante begynder, når vi ændrer r.

For små værdier af r dør populationen ud.

Ved større værdier nærmer systemet sig en stabil værdi.

Uanset hvor vi begynder, ender vi efter tilstrækkeligt mange iterationer omkring samme punkt.

Grafisk ser vi én gren.

Systemet har én stabil tilstand.

Men fortsætter vi med at øge r, sker der noget.

Den stabile tilstand mister sin stabilitet.

I stedet begynder systemet at skifte mellem to værdier.

Én gren bliver til to.

Det er en bifurkation.

Ordet betyder ganske enkelt en forgrening.

Øger vi parameteren yderligere, bliver de to værdier til fire.

Så:

1 → 2 → 4

Senere:

4 → 8

Så:

8 → 16

Og processen fortsætter.

Dette kaldes periodedobling.

Hver gang ændrer systemets langsigtede adfærd sig.

Det har ikke fået en ny ligning.

Vi bruger stadig:

xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ)

Det eneste, vi ændrer, er parameteren r.

Alligevel vokser kompleksiteten dramatisk.

Bifurkationerne kommer desuden hurtigere og hurtigere.

Afstanden mellem successive periodedoblinger følger en bemærkelsesværdig matematisk regel.

Hvis r₁, r₂, r₃ … er de parameterværdier, hvor periodedoblingerne finder sted, nærmer forholdet:

(rₙ₋₁ − rₙ₋₂) / (rₙ − rₙ₋₁)

sig en konstant.

Denne konstant er Feigenbaums konstant:

δ ≈ 4,669201609…

Det betyder, at vejen mod kaos har en målbar skalering.

Det er i sig selv bemærkelsesværdigt.

Men endnu mere overraskende er det, at den samme konstant optræder i mange forskellige dynamiske systemer.

Ikke kun i den logistiske afbildning.

Systemerne kan beskrive helt forskellige fænomener og have forskellige ligninger.

Alligevel kan deres vej gennem periodedoblinger mod kaos følge den samme universelle skalering.

Dette kaldes universalitet.

Omkring:

r ≈ 3,56995

når den logistiske afbildning det område, vi forbinder med kaos.

Nu ser diagrammet næsten ud til at eksplodere.

I stedet for nogle få tydelige grene ser vi tusindvis af punkter.

Man kunne tro, at systemet er blevet tilfældigt.

Men det er det ikke.

Der findes ingen tilfældig variabel i ligningen.

Ingen terning bliver kastet.

Ingen støj tilføjes.

Hvert nyt punkt bestemmes præcist af det foregående.

Systemet er deterministisk.

Hvis vi kender:

xₙ

og:

r

kan vi beregne:

xₙ₊₁

præcist.

Alligevel kan systemets langsigtede udvikling blive praktisk talt uforudsigelig.

Det skyldes følsomhed over for begyndelsesbetingelser.

Tag to startværdier:

x₀ = 0,500000

og:

x₀ = 0,500001

Forskellen er mikroskopisk.

I et kaotisk område kan de to forløb efter mange iterationer ende helt forskellige steder.

Små forskelle vokser.

Denne egenskab beskrives blandt andet med Lyapunov-eksponenten.

Hvis to nærliggende baner har en begyndelsesafstand:

δ₀

kan deres afstand omtrent udvikle sig som:

δₙ ≈ δ₀e^(λn)

Hvis:

λ > 0

vokser forskellene eksponentielt.

Det er et karakteristisk tegn på kaos.

Her finder vi også den matematiske baggrund for det populære begreb sommerfugleeffekten.

Pointen er ikke, at en sommerfugl bogstaveligt skaber en bestemt storm.

Pointen er, at visse deterministiske systemer kan være så følsomme over for begyndelsesbetingelserne, at selv meget små forskelle til sidst giver meget forskellige udviklingsforløb.

Men se igen på det kaotiske område i bifurkationsdiagrammet.

Det er ikke ensartet.

Midt i kaosset opstår pludselig lyse åbninger.

Grenene samler sig igen.

Der opstår periodiske vinduer.

Et af de mest kendte er et periodisk vindue med periode 3.

Systemet går altså fra:

orden

til:

periodedobling

til:

kaos

og midt i kaosset kan der igen opstå:

orden.

Derefter kan den nye orden selv gennemgå en serie af bifurkationer og bevæge sig mod kaos.

Strukturen gentager på den måde dele af sin egen historie.

Det giver bifurkationsdiagrammet en forbindelse til fraktal geometri.

Zoomer vi ind på bestemte områder, dukker strukturer op, som minder om det større diagram.

Ikke nødvendigvis som perfekte kopier.

Men med den samme type organisering.

Forgrening.

Periodedobling.

Kaos.

Periodiske vinduer.

Ny forgrening.

Det er selv-lighed i dynamisk form.

Bifurkationsdiagrammet er derfor ikke bare en graf over en funktion.

Det er nærmere et kort over et systems mulige langsigtede adfærd.

Den vandrette akse repræsenterer parameteren:

r

Den lodrette akse viser de værdier af:

x

som systemet ender med at besøge efter mange iterationer.

For hver værdi af r beregner man den logistiske ligning igen og igen.

De første iterationer kasseres.

De repræsenterer systemets overgangsfase.

Derefter tegner man de efterfølgende værdier.

Hvis systemet ender i ét stabilt punkt, får vi én prik i højden.

Hvis det veksler mellem to værdier, får vi to.

Ved periode 4 får vi fire.

Ved periode 8 otte.

Og i det kaotiske område kan vi få et enormt antal værdier.

Når dette gentages for tusindvis af r-værdier, vokser hele bifurkationsdiagrammet frem.

Punkt for punkt.

Iteration for iteration.

Ingen har tegnet grenene direkte.

De opstår som konsekvens af systemets adfærd.

Det er måske det mest fascinerende ved motivet.

Det ligner en organisk struktur.

Et træ.

En flod, der deler sig.

Et biologisk vækstmønster.

Eller et fint net af forgreninger.

Men formen er ikke tegnet efter naturen.

Den vokser ud af en ligning.

Og ligningen er næsten absurd enkel:

xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ)

Én variabel.

Én parameter.

Multiplikation.

Subtraktion.

Iteration.

Det er nok til at skabe en matematisk verden, hvor stabilitet bliver til oscillation, oscillation bliver til forgrening, og forgrening bliver til kaos.

Bifurkationsdiagrammet ændrede derfor også vores forståelse af uforudsigelighed.

Tidligere kunne man let forbinde kompliceret adfærd med komplicerede årsager.

Kaosteorien viste noget andet.

Enkel årsag kan skabe kompleks adfærd.

Determinisme betyder ikke nødvendigvis forudsigelighed.

Og orden og kaos er ikke nødvendigvis modsætninger.

De kan være forskellige tilstande af det samme matematiske system.

Motivet viser selve overgangen.

Fra venstre mod højre vokser kompleksiteten.

Én vej bliver til to.

To bliver til fire.

Fire bliver til otte.

Til sidst kan grenene ikke længere tælles med øjet.

Men ligningen har ikke ændret sig.

Kun én parameter er blevet justeret.

Det er matematik som proces.

Matematik som kompleksitet.

Og matematik som design.

Badeforhænget er fremstillet i polyesterstof med et blødt og tekstilt fald. Stoffet kan vaskes og stryges.

Hos smuktbad.dk fås badeforhænget i alle størrelser – også skræddersyet efter individuelle mål. Designet er eksklusivt og findes kun hos smuktbad.dk. Du kan desuden vælge rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd.

Højdepunkter

• Inspireret af bifurkationsdiagrammet og den logistiske afbildning
• Visualiserer periodedobling og overgangen fra orden til matematisk kaos
• Forbinder dynamiske systemer, fraktaler og Feigenbaums universalitet

Badeforhængets fordele

• Fås i alle størrelser – også skræddersyet efter mål
• Fremstillet i polyesterstof, som kan vaskes og stryges
• Mulighed for rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd

Én ligning.

xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ)

Én parameter ændres.

Først finder systemet ro.

Så begynder det at svinge mellem to tilstande.

To bliver til fire.

Fire bliver til otte.

Og pludselig åbner kaosset sig.

Men kaosset er ikke tilfældigt.

Hvert eneste punkt følger den samme regel.

Det er måske en af matematikkens smukkeste overraskelser:

At noget så enkelt kan blive så komplekst.