Badeforhæng med Bézier-kurver – matematisk Science design

Bézier-kurver – matematikken bag digitalt design

Når vi tegner en kurve i et vektorprogram, virker processen intuitiv.

Vi placerer et punkt.

Trækker i et håndtag.

Og kurven bøjer sig.

Men bag denne tilsyneladende enkle bevægelse ligger matematik.

En af de vigtigste konstruktioner er:

Bézier-kurven.

Den er et særligt godt eksempel på forbindelsen mellem matematik, teknologi og design.

En kurve styret af punkter

Den enkleste Bézier-kurve er lineær.

Vi har to punkter:

P₀

og:

P₁

Kurven kan beskrives:

B(t) = (1 − t)P₀ + tP₁

hvor:

0 ≤ t ≤ 1

Når:

t = 0

befinder vi os ved P₀.

Når:

t = 1

befinder vi os ved P₁.

Alle værdier derimellem giver punkterne på det rette linjestykke mellem dem.

Det bliver først for alvor interessant, når vi tilføjer flere kontrolpunkter.

Den kvadratiske Bézier-kurve

Med tre kontrolpunkter:

P₀, P₁, P₂

får vi:

B(t) = (1−t)²P₀ + 2(1−t)tP₁ + t²P₂

Nu er banen ikke længere nødvendigvis ret.

P₀ og P₂ bestemmer begyndelsen og slutningen.

P₁ trækker kurven i sin retning.

Men kurven behøver ikke passere gennem P₁.

Det er et:

kontrolpunkt.

Vi styrer altså en geometrisk form gennem punkter, som ikke nødvendigvis ligger på selve formen.

Det er en afgørende idé i digitalt design.

Den kubiske Bézier-kurve

I moderne vektorgrafik er den kubiske Bézier-kurve særlig vigtig.

Den bruger fire kontrolpunkter:

P₀, P₁, P₂, P₃

og beskrives ved:

B(t) = (1−t)³P₀ + 3(1−t)²tP₁ + 3(1−t)t²P₂ + t³P₃

Kurven begynder ved:

P₀

og slutter ved:

P₃

Mens:

P₁

og:

P₂

kontrollerer dens retning og krumning.

Det er præcis den type matematik, der gør det muligt at skabe glatte kurver med få data.

Håndtagene i et vektorprogram

Hvis man arbejder i eksempelvis Adobe Illustrator, kender man måske kontrolpunkterne under et andet navn:

ankerpunkter og håndtag.

Når et håndtag trækkes væk fra et ankerpunkt, ændrer man i praksis placeringen af et Bézier-kontrolpunkt.

Håndtagets:

retning

påvirker kurvens tangent.

Håndtagets:

længde

påvirker, hvor kraftigt kurven trækkes i den retning.

Matematikken bag et almindeligt designværktøj bliver dermed meget konkret.

En designer behøver ikke skrive ligningen.

Men ligningen arbejder alligevel.

Tangenten

For den kubiske Bézier-kurve kan vi differentiere:

B(t)

og få kurvens tangent.

Ved begyndelsen gælder:

B′(0) = 3(P₁ − P₀)

Ved slutningen:

B′(1) = 3(P₃ − P₂)

Det fortæller noget vigtigt.

Retningen fra P₀ mod P₁ bestemmer kurvens startretning.

Og retningen fra P₂ mod P₃ bestemmer dens slutretning.

Det er præcis den geometriske information, vi manipulerer visuelt med håndtagene.

Differentialregning bliver til brugergrænseflade.

Bernstein-polynomier

Den kubiske formel kan også skrives:

B(t) = Σ Bᵢ,₃(t)Pᵢ

hvor funktionerne:

Bᵢ,ₙ(t)

er Bernstein-polynomier.

Generelt:

Bᵢ,ₙ(t) = C(n,i)tⁱ(1−t)ⁿ⁻ⁱ

De fungerer som vægte.

For hver værdi af t bestemmer de, hvor meget hvert kontrolpunkt påvirker kurvens position.

En vigtig egenskab er:

Σ Bᵢ,ₙ(t) = 1

Kurven bliver derfor en vægtet kombination af kontrolpunkterne.

Det giver Bézier-kurver deres stabile og intuitive geometriske opførsel.

De Casteljau-algoritmen

Der findes også en smuk geometrisk måde at konstruere Bézier-kurven på.

Den kaldes:

de Casteljau-algoritmen.

Tag eksempelvis fire punkter:

P₀, P₁, P₂ og P₃.

For en bestemt værdi af t finder vi først punkter mellem hvert nabopar:

Q₀ = (1−t)P₀ + tP₁

Q₁ = (1−t)P₁ + tP₂

Q₂ = (1−t)P₂ + tP₃

Derefter interpolerer vi igen:

R₀ = (1−t)Q₀ + tQ₁

R₁ = (1−t)Q₁ + tQ₂

Og én gang mere:

B(t) = (1−t)R₀ + tR₁

Det sidste punkt ligger på Bézier-kurven.

Gentager vi processen for mange værdier af t, tegnes hele kurven.

En glat organisk form opstår altså gennem gentagen:

lineær interpolation.

Fra bilkarrosseri til digital grafik

Bézier-kurvens historie gør den særlig relevant for Science-kollektionen.

Den franske ingeniør Pierre Bézier arbejdede hos Renault og udviklede i 1960’erne metoder til computerbaseret beskrivelse af kurver og overflader til bildesign.

Samtidig arbejdede Paul de Casteljau hos Citroën med beslægtede matematiske metoder.

Formålet var praktisk:

Hvordan beskriver og konstruerer man præcise, glatte industrielle former ved hjælp af computere?

Matematikken blev et værktøj mellem:

ingeniørvidenskab

og:

design.

I dag er resultatet overalt.

Bogstaver er matematiske kurver

Når vi ser et digitalt bogstav, ser vi normalt bare:

formen.

Men i en vektorbaseret font kan bogstavets kontur være bygget af matematiske kurver.

Et rundt:

O

er ikke nødvendigvis gemt som millioner af pixels.

I stedet kan formen beskrives gennem kontrolpunkter og kurver.

Det betyder, at bogstavet kan skaleres fra meget lille tekst til enorme formater uden at få pixelkanter.

Matematikken beskriver formen uafhængigt af opløsningen.

Det samme princip gælder:

logoer,

ikoner,

vektorillustrationer

og tekniske tegninger.

SVG og kurverne på nettet

Bézier-kurver er også en del af SVG-formatet.

En SVG-path kan eksempelvis indeholde kommandoen:

C

for en kubisk Bézier-kurve.

En path kan konceptuelt skrives:

M x₀ y₀
C x₁ y₁, x₂ y₂, x₃ y₃

M flytter til begyndelsespunktet.

C definerer derefter:

to kontrolpunkter

og:

slutpunktet.

En kompleks illustration på en hjemmeside kan derfor i virkeligheden bestå af tekstbaserede instruktioner til matematiske kurver.

Det visuelle og det matematiske lag er næsten det samme.

Motivets kurvefamilier

I dette design er det særligt interessant, at vi ikke kun ser én kurve.

Vi ser:

en familie af kurver.

Forestil dig, at et kontrolpunkt gradvist flyttes.

For hver position beregner vi en ny Bézier-kurve:

B₁(t)

B₂(t)

B₃(t)

…

Lægger vi dem oven på hinanden, opstår motivets vifteformede struktur.

Det betyder, at vi kan skabe et design ved at variere blot én parameter.

For eksempel:

P₁(s) = (1−s)A + sB

hvor:

0 ≤ s ≤ 1

For hver værdi af s får vi et nyt kontrolpunkt.

Dermed en ny kurve.

Gentagelsen skaber en flade uden egentlig at tegne en flade.

Vi tegner kun linjer.

Øjet konstruerer resten.

Den negative diamant

Motivets centrale hvide område er særligt interessant.

Det er ikke nødvendigvis tegnet som en selvstændig figur.

Det opstår mellem kurverne.

De fire kurvefamilier nærmer sig hinanden, men efterlader et tomt område.

Resultatet bliver en næsten diamantformet figur.

Dermed skaber matematikken både:

positiv form

og:

negativ form.

Linjerne definerer ikke kun sig selv.

De definerer også rummet imellem dem.

Det er et grundlæggende grafisk designprincip skabt direkte gennem geometri.

Kontinuitet mellem kurver

Når flere Bézier-segmenter sættes sammen, bliver kontinuitet vigtig.

Hvis to segmenter blot mødes i samme punkt, har vi positionskontinuitet:

C⁰

Hvis deres første afledte også passer sammen, får vi:

C¹-kontinuitet.

Så bliver overgangen glat.

Hvis også andenafledte passer sammen:

C²

bliver ændringen i krumningen glattere.

Disse begreber er afgørende inden for blandt andet:

typografi,

industridesign,

3D-modellering,

CAD

og overfladedesign.

En kurve skal ikke blot ramme de rigtige punkter.

Den skal bevæge sig rigtigt mellem dem.

Fra kurve til overflade

Bézier-princippet kan udvides fra én parameter:

t

til to:

u og v.

Så får vi en Bézier-overflade:

S(u,v)

Et net af kontrolpunkter kan dermed styre en hel tredimensionel overflade.

Det samme matematiske princip, der kan tegne en lille kurve på badeforhænget, kan altså bruges til at modellere:

et bilkarrosseri,

en flyvinge,

et møbel,

en industriel komponent

eller en tredimensionel animation.

Det viser matematikkens enorme skalérbarhed.

Designeren arbejder allerede med matematik

Det er måske det mest fascinerende ved dette motiv.

Bézier-kurver kan virke som avanceret matematik.

Men millioner af designere bruger dem allerede.

Når vi flytter et ankerpunkt.

Når vi justerer et håndtag.

Når vi tegner en vektorform.

Når vi redigerer en font.

Vi manipulerer matematiske funktioner gennem en visuel brugergrænseflade.

Science-kollektionens forbindelse mellem videnskab og design bliver derfor næsten bogstavelig her.

Matematikken er ikke kun motivets inspiration.

Den er en del af selve designværktøjet.

Det, vi oplever som en intuitiv kurve, er i virkeligheden en præcis parametrisk konstruktion.

Og ved at gentage og variere denne konstruktion kan ganske få kontrolpunkter skabe den komplekse, symmetriske struktur på badeforhænget.

Badeforhænget er fremstillet i polyesterstof med et blødt og tekstilt fald. Stoffet kan vaskes og stryges.

Hos smuktbad.dk fås badeforhænget i alle størrelser – også skræddersyet efter individuelle mål. Designet er eksklusivt og findes kun hos smuktbad.dk. Du kan desuden vælge rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd.

Højdepunkter

• Inspireret af parametriske kurver og Bézier-geometri
• Forbinder matematik med vektorgrafik, typografi, CAD og industridesign
• Gentagne kurver skaber både linjestruktur og negativ geometrisk form

Badeforhængets fordele

• Fås i alle størrelser – også skræddersyet efter mål
• Fremstillet i polyesterstof, som kan vaskes og stryges
• Mulighed for rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd

En designer trækker i et håndtag.

En kurve ændrer form.

Det føles intuitivt.

Men under overfladen beregner computeren polynomier, interpolationer, tangenter og koordinater.

Det gør dette motiv til et meget direkte møde mellem Science-kollektionens tre verdener:

matematik, teknologi og design.