Badeforhæng med Apollonisk cirkelpakning – matematisk Science design
Prisinterval: 199,00 kr. til 1.599,00 kr.
Eget unikt design
Idé til designs Anette Lind
Motiv og tekst ved hjælp af AI
Kontakt mig, hvis du ønsker designet
i andre farver eller beskæring/størrelse.
Apollonisk cirkelpakning – uendelig geometri mellem cirkler
Tag tre cirkler.
Lad dem røre hinanden.
Mellem dem opstår et hul.
Kan vi finde en cirkel, som passer præcist ind i dette mellemrum og tangerer alle tre?
Ja.
Når den nye cirkel er placeret, opstår der nye mellemrum.
Dem kan vi også udfylde.
Og så opstår endnu mindre mellemrum.
Processen kan fortsætte:
igen.
og igen.
og igen.
Det er idéen bag en Apollonisk cirkelpakning.
Navnet henviser til den græske matematiker Apollonius fra Perga, som omkring det 3. århundrede f.Kr. studerede problemer med cirkler og tangering.
Et klassisk Apollonius-problem spørger:
Kan vi konstruere en cirkel, som tangerer tre givne geometriske objekter?
De tre objekter kan eksempelvis være punkter, linjer eller cirkler.
I den Apolloniske cirkelpakning arbejder vi netop med cirkler.
Tangering er afgørende.
To cirkler med radier:
r₁
og:
r₂
tangerer hinanden udvendigt, når afstanden mellem deres centre er:
d = r₁ + r₂
Ved indvendig tangering er relationen:
d = |r₁ − r₂|
Men når flere cirkler skal tangere hinanden samtidigt, bliver geometrien mere interessant.
Her kommer Descartes’ cirkelsætning ind i billedet.
I stedet for cirklens radius arbejder vi med dens krumning:
k = 1/r
En lille cirkel har derfor stor krumning.
En stor cirkel har lille krumning.
For fire indbyrdes tangente cirkler med krumninger:
k₁, k₂, k₃, k₄
gælder Descartes’ cirkelsætning:
(k₁ + k₂ + k₃ + k₄)² = 2(k₁² + k₂² + k₃² + k₄²)
Hvis vi allerede kender tre af cirklerne, kan vi bruge ligningen til at finde krumningen af den fjerde.
Den kan også skrives:
k₄ = k₁ + k₂ + k₃ ± 2√(k₁k₂ + k₂k₃ + k₃k₁)
Plustegnet giver typisk den mindre cirkel, der passer ind i mellemrummet mellem de tre andre.
Dermed har vi en matematisk regel for at skabe næste generation af cirkler.
Og nu begynder fraktalen.
Når den nye cirkel er kommet til, kan vi vælge tre tangente cirkler igen.
Mellem dem findes endnu et hul.
Vi beregner endnu en cirkel.
Så endnu en.
Og endnu en.
Processen er rekursiv.
Resultatet kaldes en Apollonisk gasket.
Motivet på badeforhænget viser netop denne karakteristiske struktur.
Store cirkler dominerer først vores blik.
Men langs deres kanter ligger mindre cirkler.
Mellem dem endnu mindre.
Og zoomer vi matematisk videre, fortsætter hierarkiet.
Der findes ingen mindste cirkel.
For hver skala kan der konstrueres en endnu mindre.
Radius bevæger sig mod:
r → 0
mens krumningen derfor bevæger sig mod:
k → ∞
Det betyder, at en endelig figur kan indeholde struktur på vilkårligt små skalaer.
Her møder vi fraktal geometri.
En almindelig linje har dimension:
1
En almindelig flade har dimension:
2
Men grænsestrukturen i en Apollonisk cirkelpakning har en fraktal dimension mellem de to.
Den relevante dimension er cirka:
1,3057
Det er en mærkelig tanke.
Hvordan kan noget have en dimension på omtrent 1,3?
Fraktal dimension handler ikke om dimension på helt samme måde som længde, bredde og højde.
Den beskriver blandt andet, hvordan detaljernes antal vokser, når vi undersøger strukturen på stadig mindre skalaer.
For en fraktal kan antallet af nødvendige elementer N(ε) omtrent følge:
N(ε) ∝ ε^(−D)
hvor:
ε
er observationsskalaen og:
D
er den fraktale dimension.
En større D betyder groft sagt, at strukturen fylder mere af rummet, når vi går ned i skala.
Den Apolloniske pakning befinder sig derfor mellem en enkel kurve og en fuldt udfyldt todimensional flade.
Men cirklerne gør noget endnu mere fascinerende.
De fylder næsten hele området.
Alligevel bliver der ved med at eksistere mellemrum.
Hver gang vi fylder et hul, skaber geometrien nye mindre huller.
Vi nærmer os en fuldstændig pakning uden at afslutte processen med et sidste trin.
Det er et klassisk matematisk møde med uendeligheden.
Vi behøver ikke tegne uendeligt mange cirkler for at forstå processen.
Reglen definerer hele den uendelige struktur.
Det minder om andre fraktaler.
Mandelbrotmængden kan defineres gennem den korte iteration:
zₙ₊₁ = zₙ² + c
Sierpiński-trekanten kan skabes ved gentagne gange at fjerne trekanter.
Koch-kurven vokser ved at gentage den samme transformation på stadig mindre linjestykker.
Og den Apolloniske cirkelpakning vokser ved at udfylde mellemrum mellem tangente cirkler.
Forskellige regler.
Samme overordnede idé.
Iteration.
Rekursion.
Skala.
Uendelig kompleksitet.
Motivet viser også en interessant kontrast mellem diskret og kontinuerlig matematik.
Hver cirkel er et separat objekt.
Vi kan give den et centrum:
(x,y)
og en radius:
r
Cirklen kan beskrives:
(x − a)² + (y − b)² = r²
Men hele strukturen opstår gennem relationerne mellem cirklerne.
Hvilke cirkler tangerer hvilke?
Hvor stort er mellemrummet?
Hvilken cirkel kan placeres dér?
Geometrien bliver derfor til et netværk af relationer.
Vi kan faktisk betragte hver cirkel som et knudepunkt i en graf.
Hvis to cirkler tangerer hinanden, tegner vi en forbindelse mellem deres knudepunkter.
Pludselig kan den samme figur studeres med grafteori.
Geometri bliver til kombinatorik.
Cirkler bliver til noder.
Tangering bliver til forbindelser.
Det er et tilbagevendende tema i matematikken.
Den samme struktur kan ses fra flere perspektiver.
Der findes også en elegant forbindelse til komplekse tal og Möbius-transformationer.
Transformationer af typen:
f(z) = (az + b)/(cz + d)
har den særlige egenskab, at de transformerer generaliserede cirkler til generaliserede cirkler.
Det vil sige:
cirkler og rette linjer forbliver cirkler eller rette linjer.
Tangensrelationer kan samtidig bevares.
Det betyder, at en cirkelpakning kan transformeres dramatisk og stadig bevare en dybere geometrisk struktur.
En symmetrisk pakning kan blive asymmetrisk.
Store cirkler kan blive små.
Små kan blive store.
Men forbindelserne mellem dem kan bestå.
Det giver et vigtigt matematisk perspektiv på form.
Det synlige udseende er ikke altid strukturens vigtigste egenskab.
Relationerne kan være mere fundamentale.
Cirkler findes samtidig overalt i naturvidenskaben.
Bølger.
Baner.
Tværsnit.
Bobler.
Celler.
Dråber.
Men den Apolloniske cirkelpakning er ikke først og fremmest en efterligning af naturen.
Den er et eksempel på, at ren matematik selv kan skabe former, som virker næsten biologiske.
De små cirkler synes at vokse mellem de større.
Som celler.
Som bobler.
Som mikroskopiske strukturer.
Men der findes ingen biologisk vækstmodel bag motivet.
Kun geometri.
Det er måske netop derfor, figuren virker så organisk.
Naturen og matematikken deler ofte de samme grundlæggende problemer.
Hvordan udfyldes et rum?
Hvordan organiseres størrelser?
Hvordan opstår strukturer på flere skalaer?
Hvordan kan simple lokale regler skabe global kompleksitet?
Den Apolloniske cirkelpakning giver ét matematisk svar.
Find mellemrummet.
Indsæt den største cirkel, der passer.
Gentag.
Fra denne simple idé vokser en struktur med detaljer, som fortsætter mod det uendeligt små.
Fire store cirkler.
Så nogle mindre.
Så endnu mindre.
Så cirkler, som næsten ikke længere kan ses.
Men matematisk fortsætter de.
Der er altid et nyt mellemrum.
Der er altid en ny cirkel.
Der er altid endnu en skala.
Det er matematik som geometri.
Matematik som rekursion.
Matematik som uendelighed.
Og matematik som design.
Badeforhænget er fremstillet i polyesterstof med et blødt og tekstilt fald. Stoffet kan vaskes og stryges.
Hos smuktbad.dk fås badeforhænget i alle størrelser – også skræddersyet efter individuelle mål. Designet er eksklusivt og findes kun hos smuktbad.dk. Du kan desuden vælge rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd.
Højdepunkter
• Inspireret af Apollonisk cirkelpakning og tangente cirkler
• Forbinder Descartes’ cirkelsætning med fraktal geometri og rekursion
• En uendelig matematisk struktur skabt af én enkel geometrisk idé
Badeforhængets fordele
• Fås i alle størrelser – også skræddersyet efter mål
• Fremstillet i polyesterstof, som kan vaskes og stryges
• Mulighed for rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd
Find et mellemrum.
Placer en cirkel.
Nu er der opstået nye mellemrum.
Placer nye cirkler.
Gentag.
Det lyder som en proces, der burde ende.
Men det gør den ikke.
For mellem de mindste cirkler findes endnu mindre mellemrum.
Og mellem dem igen.
Motivet har derfor ingen egentlig mindste detalje.
Vi kan altid gå ét niveau længere ind.
En enkel regel bliver til en uendelig struktur.
Og geometrien bliver til design.
Vores badeforhæng er OEKO-TEX® STANDARD 100 certificeret, en garanti for produkter undersøgt for indhold af sundhedsskadelige stoffer.
Standard badeforhæng er med kantsyede huller i toppen. Du kan tilkøbe rynkebånd istedet.
Badeforhænget er fremstillet i Oxfordvævet stofpolyester – et vævet tekstilmateriale med fin struktur. Det har ikke en glat overflade som en plastikpose.
Polyester er ikke bare polyester, og det kan føles på mange forskellige måder – lige fra det silkebløde stof i en kjole til det mere faste og glatte stof i et badeforhæng.
Når dit badeforhæng føles en smule “plastikagtigt”, er det en helt bevidst og nødvendig funktion. I et fugtigt badeværelse er stoffet nødt til at være tætvævet, så det bliver vandafvisende og hurtigtørrende.
Hvis forhænget var lavet af et naturmateriale, ville der kunne ske tre ting:
- Det kunne suge vandet til sig som en svamp.
- Det ville blive utrolig tungt og klistre sig til kroppen, når du bader.
- Det ville forblive vådt i lang tid, hvilket skaber de perfekte rammer for skimmel, jordslag og bakterier.
Den glatte overflade og stofkvaliteten sikrer simpelthen, at vandet preller af, så forhænget holder sig rent, hygiejnisk og pænt i lang tid.
Vask: Maskinvask ved 30–40 grader.
Strygning: Lav temperatur.
Leveringstid er normalt 8-14 hverdage
Leveringstid for varer på lager: 2-4 hverdage
Dette vil fremgå på varen
Syopgaver fx rynkebånd,
tyngdebånd og XL/XXL/XXXL:
2-4 hverdage ekstra
Du har 14 dages fortrydelsesret på badeforhæng i standardstørrelser 90×180, 180×180, 180×200 og 180×240.
Undtaget fra fortrydelsesret er:
- Skræddersyet størrelse og XL, XXL og XXXL
- Tilpasninger i form af rynkebånd, tyngdebånd eller særlig syopgave
- Med eget design eller specielt design produceret til dig
- Stof
Her beskriver vi motiv og farver med ord:
Dette badeforhæng fra Science-kollektionen viser en Apollonisk cirkelpakning, hvor cirkler udfylder mellemrummene mellem andre cirkler i stadig mindre skala. Fire store cirkler danner motivets grundstruktur, mens nye cirkler opstår i de buede mellemrum. Mellem disse findes nye mellemrum, som igen kan udfyldes med mindre cirkler. Processen kan i princippet fortsætte uendeligt.
Matematikken bag konstruktionen forbindes med tangente cirkler, fraktal geometri og Descartes’ cirkelsætning. Hvis krumningen af en cirkel defineres som k = 1/r, kan krumningen af en ny cirkel, der tangerer tre eksisterende cirkler, beregnes ud fra deres krumninger. Den rekursive proces skaber en Apollonisk gasket: en struktur med selv-lighed, hvor stadig finere detaljer gentager den samme geometriske idé.
Det minimalistiske sort-hvide motiv gør en kompleks matematisk proces synlig. Store og små cirkler bindes sammen af én enkel regel, og resultatet befinder sig et fascinerende sted mellem streng geometri og næsten organisk vækst.