Badeforhæng med bipolære koordinater – matematisk Science design

Bipolære koordinater – når geometrien får to centre

Vi er vant til koordinatsystemet:

(x,y)

To rette akser.

Én vandret.

Én lodret.

Men koordinater behøver ikke bestå af rette linjer.

Og et koordinatsystem behøver ikke engang have:

ét centrum.

Dette motiv tager udgangspunkt i et koordinatsystem organiseret omkring:

to poler.

Det kaldes:

bipolære koordinater.

Fra ét centrum til to

I polære koordinater beskrives et punkt ved:

(r,θ)

hvor:

r

er afstanden til centrum,

og:

θ

er vinklen omkring centrum.

Koordinatlinjerne bliver derfor:

cirkler omkring centrum

og:

rette linjer gennem centrum.

Men hvad sker der, hvis geometrien i stedet organiseres omkring:

to faste punkter?

Så opstår et helt andet koordinatnet.

De to poler

Lad de to særlige punkter ligge ved:

(-a,0)

og:

(a,0)

De fungerer som koordinatsystemets:

poler.

På motivet ses de som de to tætte centre til venstre og højre.

Hele geometrien organiserer sig omkring disse punkter.

Bipolære koordinater

Et almindeligt valg af bipolære koordinater er:

x = a sinh τ / (cosh τ − cos σ)

y = a sin σ / (cosh τ − cos σ)

Her er:

τ

og:

σ

de to koordinater.

Det ser betydeligt mere kompliceret ud end:

x og y.

Men parameteriseringen har en bemærkelsesværdig geometrisk egenskab.

Hold én koordinat konstant

Hvis vi holder:

τ = konstant

får vi én familie af cirkler.

Holder vi i stedet:

σ = konstant

får vi:

en anden familie af cirkler.

De to familier danner tilsammen koordinatnettet.

Det er disse krydsende kurver, der skaber motivets karakteristiske struktur.

Ortogonale kurver

De to familier skærer hinanden:

vinkelret.

Det betyder, at koordinatsystemet er:

ortogonalt.

Ved hvert skæringspunkt danner de to koordinatlinjer en vinkel på:

90°.

Det er den samme grundlæggende egenskab, vi kender fra det almindelige kartesiske koordinatsystem.

Men her består koordinatnettet af:

krumme linjer.

Rette vinkler uden rette linjer

Det er en smuk geometrisk pointe.

Et ortogonalt koordinatsystem behøver ikke bestå af:

vandrette og lodrette linjer.

Det afgørende er ikke, om linjerne er rette.

Det afgørende er:

hvordan de mødes.

Kurver kan sagtens danne et perfekt ortogonalt koordinatsystem.

Afstandene til polerne

Lad afstandene fra et punkt til de to poler være:

r₁

og:

r₂

En af de bipolære koordinater kan knyttes til forholdet mellem disse afstande:

τ = ln(r₁/r₂)

Det betyder, at koordinaten fortæller noget om:

punktets relative afstand til de to poler.

Hvis:

r₁ = r₂

så er:

τ = 0

Punktet ligger da lige langt fra begge poler.

Midteraksen

Alle punkter, der ligger lige langt fra de to poler, befinder sig på deres:

vinkelrette midtnormal.

I den symmetriske konstruktion bliver det den lodrette akse mellem centrene.

Derfor har motivet en meget tydelig:

spejlsymmetri.

Venstre og højre halvdel af geometrien svarer til hinanden.

To centre skaber formen

Hvis vi kun tegnede de to punkter, ville billedet være næsten tomt.

Men så snart vi spørger:

Hvordan beskrives alle andre punkter i forhold til disse to?

opstår hele strukturen.

De to små centre styrer:

et stort geometrisk felt.

Apolloniske cirkler

Her dukker et klassisk geometrisk objekt op:

Apolloniske cirkler.

For to faste punkter kan vi undersøge alle punkter, hvor forholdet mellem afstandene til dem er konstant:

r₁/r₂ = k

For en konstant værdi af k danner disse punkter:

en cirkel.

Ændrer vi k, får vi en hel familie af cirkler.

Det er netop en af de geometriske idéer bag bipolære koordinater.

Apollonios

Navnet kommer fra den græske matematiker:

Apollonios fra Perga.

Han arbejdede omkring det 3. århundrede f.Kr. og er især kendt for sit omfattende arbejde med:

keglesnit.

Hans navn lever videre i flere geometriske konstruktioner.

Blandt dem:

Apollonios’ cirkler.

En anden cirkelfamilie

Den anden koordinatfamilie kan forstås gennem vinklen, som linjerne fra punktet til de to poler danner.

Holder vi denne vinkel konstant, fremkommer igen:

cirkulære kurver.

Dermed får vi to cirkelfamilier med forskellige geometriske definitioner.

Og de mødes:

ortogonalt.

Et net af cirkler

Motivet kan derfor ses som noget overraskende enkelt.

Det ligner et komplekst deformeret net.

Men grundelementerne er:

cirkler.

Cirkler organiseret omkring to særlige punkter.

Den tilsyneladende kompleksitet opstår gennem:

gentagelse og relation.

Konforme afbildninger

Bipolære koordinater hænger tæt sammen med:

konforme transformationer.

En konform afbildning bevarer lokale vinkler.

Små figurer kan blive strakt og bøjet.

Men vinklerne mellem kurver bevares.

Det forklarer, hvorfor et almindeligt retvinklet koordinatnet kan transformeres til et net af krumme linjer og stadig være:

ortogonalt.

Kompleks analyse

Konforme transformationer studeres naturligt gennem:

komplekse funktioner.

Et komplekst tal skrives:

z = x + iy

En funktion:

w = f(z)

kan transformere hele områder af planet.

Rette linjer kan blive til:

cirkler,

buer

og:

andre kurver.

Men hvis funktionen er analytisk og dens afledte ikke er nul, bevares vinkler lokalt.

Möbius-transformationer

En vigtig familie af komplekse transformationer er:

w = (az+b)/(cz+d)

Disse kaldes:

Möbius-transformationer.

De har en særlig smuk egenskab:

Cirkler og rette linjer transformeres igen til:

cirkler eller rette linjer.

Derfor optræder net af cirkler igen og igen i kompleks analyse.

Fra koordinater til fysik

Hvorfor skulle man vælge et så mærkeligt koordinatsystem?

Fordi koordinater helst skal passe til:

problemet.

Hvis et fysisk system har to særlige centre, kan bipolære koordinater gøre ligninger langt enklere.

Geometrien bliver tilpasset fysikken.

Laplaces ligning

En af de vigtigste differentialligninger i matematisk fysik er:

∇²φ = 0

Den kaldes:

Laplaces ligning.

Den beskriver blandt andet potentialer i områder uden kilder.

Den optræder i:

elektrostatik,

gravitation,

stationær varmeledning

og:

væskestrømning.

Elektrostatik

Forestil dig to lange parallelle cylindriske ledere.

I et almindeligt kartesisk koordinatsystem kan geometrien være besværlig.

Men tværsnittet består af:

to cirkler.

Bipolære koordinater kan vælges, så bestemte koordinatlinjer følger præcis disse cirkler.

Pludselig passer:

matematikken til objektet.

Potentialelinjer

I elektrostatik kan man tegne:

ækvipotentiallinjer.

Langs en sådan linje er det elektriske potentiale:

konstant.

Elektriske feltlinjer står vinkelret på ækvipotentiallinjerne.

Derfor opstår igen:

to ortogonale kurvefamilier.

Det er årsagen til, at motivet visuelt kan minde om et elektrisk felt.

Men motivet er et koordinatnet

Det er vigtigt at skelne.

Et lignende mønster kan opstå som:

feltlinjer,

potentialelinjer

eller:

koordinatlinjer.

Det visuelle slægtskab skyldes, at den samme matematiske struktur kan optræde i flere sammenhænge.

Det er netop noget af det fascinerende ved matematik.

Matematikken genbruges

Den samme ligning kan beskrive helt forskellige fænomener.

Laplaces ligning kan eksempelvis bruges til at undersøge:

elektrisk potentiale,

temperatur,

gravitationspotentiale

og:

idealiseret væskestrømning.

Fysikken er forskellig.

Men den matematiske struktur er:

den samme.

To elektriske ledere

Bipolære koordinater er særligt velegnede til problemer med:

to cylindriske objekter.

Det kan eksempelvis være to parallelle ledere.

Koordinatlinjerne kan tilpasses deres overflader.

Dermed bliver randbetingelserne enklere at formulere.

Det er et klassisk princip i matematisk fysik:

vælg koordinater efter symmetrien.

Separation af variable

Når koordinatsystemet passer til geometrien, kan en differentialligning nogle gange løses ved:

separation af variable.

Man forsøger eksempelvis:

φ(τ,σ) = T(τ)S(σ)

En differentialligning med flere variable kan dermed opdeles i enklere ligninger.

Et vanskeligt todimensionalt problem bliver til:

to endimensionale problemer.

Koordinater er værktøjer

Vi tænker ofte på koordinater som noget fast.

x-aksen er vandret.

y-aksen er lodret.

Men i avanceret matematik er koordinatsystemet et:

valg.

Vi vælger det system, der gør problemet enklest.

Kartesiske koordinater passer til rektangulære problemer.

Polære koordinater passer til cirkulær symmetri.

Sfæriske koordinater passer til kugler.

Og bipolære koordinater passer naturligt til:

to-centrede geometrier.

To singulariteter

De to centrale punkter har en særlig matematisk rolle.

Koordinatnettet bliver ekstremt tæt i deres nærhed.

De fungerer som:

singulære punkter i koordinatbeskrivelsen.

Det betyder ikke nødvendigvis, at den fysiske verden er singular dér.

Det kan være selve:

koordinatsystemet

der bliver singular.

Koordinatsingulariteter

Det kender vi allerede fra polære koordinater.

Ved:

r = 0

har vinklen θ ingen entydig betydning.

Alle vinkler mødes i samme punkt.

Centrum er derfor en:

koordinatsingularitet.

Noget tilsvarende sker omkring de særlige punkter i andre krumme koordinatsystemer.

Jacobimatricen

Når vi skifter koordinater, ændres også måden, vi måler små områder og afstande på.

Transformationen beskrives lokalt gennem:

Jacobianen.

Hvis:

x = x(u,v)

og:

y = y(u,v)

kan Jacobideterminanten skrives:

J = ∂(x,y)/∂(u,v)

Den fortæller blandt andet, hvordan små arealer bliver:

strakt eller komprimeret.

Se linjetætheden

Det kan næsten ses direkte på motivet.

Nogle steder ligger koordinatlinjerne:

langt fra hinanden.

Andre steder presses de:

meget tæt sammen.

Det viser visuelt, at transformationens lokale skalering varierer.

Koordinatnettet fungerer næsten som et kort over:

selve transformationen.

Et matematisk landskab

Der er ingen farver.

Ingen pile.

Ingen tal.

Alligevel kan vi aflæse:

symmetri,

centre,

retninger,

skalering

og:

relationer.

Det er en af koordinatgeometriens store styrker.

Et net af linjer kan afsløre strukturen i et helt matematisk rum.

To punkter – et helt system

Motivet begynder med noget meget beskedent:

to punkter.

Men relationen mellem disse punkter og alle andre punkter i planet skaber:

cirkelfamilier,

ortogonalitet,

symmetri,

koordinater,

transformationer

og:

forbindelser til fysisk feltteori.

To punkter er nok til at skabe:

et helt geometrisk univers.

Badeforhænget er fremstillet i polyesterstof med et blødt og tekstilt fald. Stoffet kan vaskes og stryges.

Hos smuktbad.dk fås badeforhænget i alle størrelser – også skræddersyet efter individuelle mål. Designet er eksklusivt og findes kun hos smuktbad.dk. Du kan desuden vælge rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd.

Højdepunkter

• Inspireret af bipolære koordinater og geometri omkring to poler
• Forbinder cirkelgeometri, konforme transformationer og matematisk fysik
• Minimalistisk Science design med et symmetrisk, ortogonalt koordinatnet

Badeforhængets fordele

• Fås i alle størrelser – også skræddersyet efter mål
• Fremstillet i polyesterstof, som kan vaskes og stryges
• Mulighed for rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd

Ét centrum giver os polære koordinater.

Men matematikken behøver ikke nøjes med ét.

Placér:

to punkter.

Beskriv hvert andet punkt gennem dets relation til dem begge.

Og langsomt vokser et nyt koordinatsystem frem.

Rette linjer bliver til cirkler.

Afstand bliver til forhold.

Et almindeligt gitter bliver til et krumt net.

Og mellem to små punkter opstår:

en hel geometri.