Badeforhæng med epicykler – matematisk Science design

Epicykler – når cirkler bevæger cirkler

En cirkel er en af matematikkens enkleste former.

I parametrisk form kan den beskrives:

x(t) = R cos(t)

y(t) = R sin(t)

Her er:

R

cirklens radius,

mens:

t

bestemmer positionen omkring cirklen.

Når t ændres, bevæger punktet sig rundt med en perfekt periodisk bevægelse.

Men hvad sker der, hvis vi placerer:

en cirkel på en cirkel?

Så får vi en epicykel.

En bevægelig cirkel

Forestil dig først en stor cirkel med radius:

R

Centrum for en mindre cirkel bevæger sig rundt langs denne.

Positionen af det bevægelige centrum kan beskrives:

x₁(t) = R cos(t)

y₁(t) = R sin(t)

Nu lader vi et punkt rotere omkring dette centrum med radius:

r

og vinkelhastighed:

ω

Den ekstra bevægelse er:

x₂(t) = r cos(ωt + φ)

y₂(t) = r sin(ωt + φ)

Den samlede position bliver:

x(t) = R cos(t) + r cos(ωt + φ)

y(t) = R sin(t) + r sin(ωt + φ)

Her er:

φ

en faseforskydning.

To simple cirkelbevægelser er nu blevet til én langt mere kompleks kurve.

Cirkler kan lægges sammen

Vi behøver ikke stoppe ved to.

Vi kan tilføje endnu en cirkel:

x(t) = R₁cos(ω₁t + φ₁) + R₂cos(ω₂t + φ₂) + R₃cos(ω₃t + φ₃)

og tilsvarende:

y(t) = R₁sin(ω₁t + φ₁) + R₂sin(ω₂t + φ₂) + R₃sin(ω₃t + φ₃)

Og vi kan fortsætte.

Resultatet bliver:

en kæde af roterende cirkler.

Hver cirkel bidrager med sin egen:

radius,

hastighed

og:

fase.

Det sidste punkt i kæden tegner den samlede kurve.

Fra cirkler til bølger

Der ligger en dybere idé bag denne konstruktion.

Sinus og cosinus er ikke blot funktioner, der tegner bølger.

De kan også betragtes som:

projektioner af cirkulær bevægelse.

Hvis et punkt bevæger sig rundt på en cirkel:

x = cos(t)

y = sin(t)

og vi kun observerer x-koordinaten, får vi en cosinusbølge.

Observerer vi y-koordinaten, får vi:

en sinusbølge.

Cirklen og bølgen er altså to forskellige måder at se den samme matematiske bevægelse på.

Det komplekse plan

Denne forbindelse bliver endnu tydeligere med komplekse tal.

Eulers formel siger:

e^(iθ) = cos θ + i sin θ

En rotation kan derfor beskrives kompakt som:

Re^(iθ)

Det komplekse tal bevæger sig rundt på en cirkel med radius R.

En epicykelkonstruktion kan så skrives som en sum:

z(t) = Σ cₙe^(iωₙt)

Hvert led repræsenterer:

én roterende cirkel.

Hele figuren er summen af dem.

Fourier-serien

Her kommer en af matematikkens mest overraskende forbindelser.

En periodisk funktion kan under passende betingelser beskrives som en sum af harmoniske komponenter:

f(t) = a₀ + Σ[aₙ cos(nt) + bₙ sin(nt)]

Dette er en:

Fourier-serie.

Jean-Baptiste Joseph Fourier viste i begyndelsen af 1800-tallet, at komplicerede periodiske funktioner kan analyseres som kombinationer af simple sinus- og cosinusbølger.

Geometrisk kan de samme komponenter fortolkes som:

roterende vektorer.

Og roterende vektorer kan tegnes som:

epicykler.

Et komplekst signal bliver til cirkler

Forestil dig et lydsignal.

Det kan se kaotisk ud.

Men Fourier-analyse kan splitte signalet op i enkelte frekvenser.

Hver frekvens har:

en amplitude

og:

en fase.

Amplitude bestemmer størrelsen af den tilsvarende cirkel.

Frekvens bestemmer:

hvor hurtigt den roterer.

Fase bestemmer:

hvor rotationen starter.

Et komplekst signal kan dermed oversættes til en samling roterende cirkler.

Musik som geometri

Hvis en tone består af en grundfrekvens:

f

kan dens overtoner ligge ved:

2f, 3f, 4f, 5f …

De forskellige frekvenser bidrager til instrumentets klang.

Matematisk kan lyden analyseres som en sum af bølger.

Men gennem Eulers formel kan de samme bølger ses som:

rotationer i det komplekse plan.

På den måde findes der en direkte matematisk forbindelse mellem:

musik og cirkler.

Fourier-transformen

Fourier-serien beskriver især periodiske signaler.

Den mere generelle Fourier-transform kan skrives:

F(ω) = ∫ f(t)e^(-iωt)dt

Den undersøger, hvor meget af forskellige frekvenser der findes i et signal.

I stedet for kun at spørge:

Hvordan ændrer signalet sig over tid?

kan vi spørge:

Hvilke frekvenser består signalet af?

Det er et fundamentalt perspektivskifte.

Frekvensdomænet

Et signal kan beskrives i:

tidsdomænet

eller:

frekvensdomænet.

I tidsdomænet ser vi signalets udvikling.

I frekvensdomænet ser vi dets bestanddele.

Fourier-transformen fungerer som en matematisk bro mellem de to beskrivelser.

Den idé bruges overalt i moderne teknologi.

Digital lyd

Når musik gemmes digitalt, repræsenteres lyden som målinger af lufttrykket over tid.

Signalbehandling kan analysere disse målinger i frekvensdomænet.

Det gør det muligt at:

filtrere støj,

ændre frekvensområder,

komprimere lyd

og:

analysere klang.

Bag mange af disse operationer ligger Fourier-matematik.

Billeder består også af frekvenser

Fourier-analyse gælder ikke kun lyd.

Et billede kan betragtes som en todimensional funktion:

f(x,y)

En todimensional Fourier-transform beskriver billedet gennem rumlige frekvenser.

Langsomme variationer svarer til:

lave frekvenser.

Fine detaljer og skarpe kanter indeholder:

højere frekvenser.

Det betyder, at også et fotografi kan analyseres som en kombination af matematiske bølger.

Medicinsk billeddannelse

Fourier-transformer spiller en vigtig rolle i blandt andet:

MR-scanning.

Ved magnetisk resonans registreres signaler, der efter matematisk behandling kan rekonstrueres til billeder af kroppens indre strukturer.

Rådata ligner ikke nødvendigvis det færdige billede.

Matematikken omdanner information mellem forskellige repræsentationer.

Det er et smukt eksempel på abstrakt matematik med meget konkret betydning.

Telekommunikation

Radio, mobilkommunikation og trådløse netværk arbejder også med frekvenser.

Information kan kodes i variationer af:

amplitude,

frekvens

eller:

fase.

For at analysere og adskille signaler bruges matematiske metoder tæt forbundet med Fourier-transformen.

Når en smartphone kommunikerer trådløst, arbejder den derfor konstant med idéer fra:

bølger, rotation og frekvensanalyse.

Fra analyse til tegning

Epicykler kan også bruges den modsatte vej.

I stedet for at analysere en eksisterende funktion kan vi begynde med et sæt cirkler og spørge:

Hvilken kurve tegner de?

Vi vælger:

R₁, R₂, R₃ …

og:

ω₁, ω₂, ω₃ …

Derefter beregner vi summen.

Små ændringer i parametrene kan give helt forskellige figurer.

Det gør epicykler interessante inden for:

generativ kunst.

Rotationssymmetrien i motivet

På badeforhænget gentages cirkulære elementer omkring et fælles centrum.

Hvis der er N gentagelser, kan deres positioner beskrives med vinkler:

θₖ = 2πk/N

hvor:

k = 0,1,…,N−1

Centrene kan placeres:

xₖ = R cos θₖ

yₖ = R sin θₖ

Så får vi en perfekt cirkulær krans.

Omkring hvert punkt kan vi derefter tegne endnu en cirkel.

En meget enkel algoritme skaber dermed motivets ydre struktur.

En cirkel af cirkler

Det interessante er, at vi nu har mindst tre geometriske niveauer:

centrum

omkring dette:

en cirkulær bane

og langs banen:

mindre cirkler.

Når de mindre cirkler overlapper, opstår nye former, som ikke blev tegnet direkte.

De eksisterer kun som konsekvens af:

interferensen mellem kurverne.

Det er et gennemgående princip i matematisk design.

Spirografens matematik

Motivet har også en tydelig forbindelse til den type kurver, mange kender fra en spirograf.

Hvis en cirkel ruller rundt på ydersiden af en anden cirkel, kan et punkt på den bevægelige cirkel tegne en:

epitrokoide.

En parametrisk beskrivelse er:

x(t) = (R+r)cos t − d cos((R+r)t/r)

y(t) = (R+r)sin t − d sin((R+r)t/r)

Hvis cirklen i stedet ruller på indersiden, får vi beslægtede:

hypotrokoider.

Små ændringer i forholdet mellem radierne kan skabe dramatisk forskellige mønstre.

Rationelle forhold lukker kurven

Hvis forholdet mellem de involverede frekvenser eller radier er rationelt, vil bevægelsen efter et bestemt tidsrum vende tilbage til sin begyndelse.

Kurven bliver:

lukket.

Hvis forholdet er irrationelt, vender systemet ikke tilbage på samme enkle måde.

Det kan fortsætte med at udfylde nye positioner.

Dermed kan noget så simpelt som forholdet mellem to tal afgøre, om et mønster bliver:

periodisk eller kvasiperiodisk.

Ptolemæus og epicyklerne

Epicykler har også en fascinerende videnskabshistorie.

I antikkens geocentriske astronomi blev kombinationer af cirkulære bevægelser brugt til at beskrive planeternes observerede bevægelser på himlen.

Modellen forbindes især med:

Claudius Ptolemæus.

Planeterne blev beskrevet som bevægende på små cirkler, hvis centre selv bevægede sig på større cirkler.

Modellen var fysisk forkert som beskrivelse af Solsystemets opbygning.

Men matematisk kunne den efter datidens standarder give nyttige tilnærmelser til observerede planetpositioner.

En overraskende efterklang

Det er fristende at tænke:

Ptolemæus brugte epicykler.

Ptolemæus tog fejl.

Derfor er epicykler dårlig matematik.

Men det ville være en fejlslutning.

Selve idéen om at beskrive komplekse periodiske bevægelser gennem summer af cirkulære bevægelser er matematisk kraftfuld.

I moderne sprog genfinder vi beslægtede idéer i:

Fourier-analyse.

En gammel geometrisk konstruktion får dermed en overraskende moderne parallel.

Kompleksitet som sum

Det er måske motivets vigtigste matematiske fortælling.

Vi ser en forholdsvis kompleks figur.

Men dens bestanddele er ekstremt simple:

cirkler.

Én cirkel roterer.

En anden tilføjes.

Så en tredje.

Hver bevægelse kan beskrives præcist.

Når de kombineres, opstår noget langt rigere.

Det samme princip møder vi igen og igen i naturvidenskaben:

komplekse fænomener kan opstå gennem kombinationen af simple komponenter.

Fra én tone til et orkester

En enkelt sinusbølge er enkel.

Flere bølger giver:

klang.

En enkelt roterende vektor er enkel.

Flere roterende vektorer giver:

en kompleks kurve.

En enkelt cirkel er enkel.

Mange cirkler i organiseret rotation giver:

mønster.

Det er præcis denne overgang fra enkelhed til kompleksitet, motivet gør synlig.

Badeforhænget er fremstillet i polyesterstof med et blødt og tekstilt fald. Stoffet kan vaskes og stryges.

Hos smuktbad.dk fås badeforhænget i alle størrelser – også skræddersyet efter individuelle mål. Designet er eksklusivt og findes kun hos smuktbad.dk. Du kan desuden vælge rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd.

Højdepunkter

• Inspireret af epicykler, harmonisk bevægelse og Fourier-analyse
• Cirkler og rotationer danner et elegant symmetrisk mønster
• Forbinder matematisk geometri med lyd, signaler og videnskabshistorie

Badeforhængets fordele

• Fås i alle størrelser – også skræddersyet efter mål
• Fremstillet i polyesterstof, som kan vaskes og stryges
• Mulighed for rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd

Motivet består næsten kun af noget af det enkleste, geometrien kan tilbyde:

cirkler.

Alligevel opstår en struktur, der virker langt mere kompleks.

Det skyldes ikke cirklerne alene.

Det skyldes deres:

relationer.

Deres størrelse.

Deres placering.

Deres rotation.

Deres gentagelse.

Og netop dér mødes matematik og design.

Kompleksiteten ligger ikke nødvendigvis i elementerne.

Nogle gange ligger den i:

måden, de sættes sammen på.