Badeforhæng med potentialekurver – matematisk Science design

Potentialefelter – når usynlige værdier bliver til geometri

Motivet på dette badeforhæng består af noget så enkelt som linjer.

Alligevel kan den geometriske struktur bruges til at illustrere et vigtigt matematisk princip, som optræder igen og igen i naturvidenskaben.

Forestil dig, at hvert punkt på en flade har en bestemt værdi.

Den kan beskrives med en funktion:

V = V(x,y)

V kunne repræsentere mange forskellige størrelser.

Det kunne være elektrisk potentiale. Temperatur. Højde. Tryk. Eller et abstrakt matematisk skalarfelt.

Hvis vi nu vælger én bestemt værdi c og finder alle de steder, hvor potentialet har præcis denne værdi, får vi:

V(x,y) = c

Forbinder vi disse punkter, opstår en niveaukurve.

Vælger vi derefter en ny værdi:

V(x,y) = c₂

får vi en ny kurve.

Fortsætter vi med en række forskellige værdier, opstår familier af kurver som dem, motivet leder tankerne hen på.

Det er samme matematiske princip, man kender fra et topografisk kort. Her repræsenterer hver højdekurve steder med samme højde over havets overflade.

Men i fysikken kan præcis samme idé bruges til at visualisere noget, vi ikke kan se direkte.

Et eksempel er elektrisk potentiale.

For en enkelt idealiseret punktladning i tre dimensioner kan potentialet beskrives som:

V(r) = kq / r

Her er q den elektriske ladning, r afstanden til ladningen og k Coulombs konstant.

Alle punkter i samme afstand fra punktladningen har samme potentiale. I et todimensionalt snit vil niveauerne derfor fremstå som koncentriske cirkler.

Men ændrer man kildens geometri eller kombinerer flere bidrag, bliver niveaukurverne også ændret. De kan blive aflange, sammenpressede eller på andre måder deformeres.

Det er netop denne transformation, der gør feltvisualiseringer så interessante som grafisk design.

Kurvernes indbyrdes afstand indeholder også information.

Hvis to niveaukurver repræsenterer den samme forskel i potentiale, men ligger meget tæt, betyder det, at potentialet ændrer sig hurtigt over en kort afstand.

Ligger kurverne langt fra hinanden, ændrer potentialet sig langsommere.

Matematisk beskrives denne ændring gennem gradienten:

∇V

Gradienten peger i den retning, hvor værdien stiger hurtigst.

I et elektrisk system er sammenhængen mellem potentialet V og det elektriske felt E:

E = −∇V

Det elektriske felt peger altså i retningen for det kraftigste fald i potentialet.

Der følger en elegant geometrisk konsekvens af ligningen.

Feltlinjer og ekvipotentialkurver står lokalt vinkelret på hinanden.

To forskellige grafiske visualiseringer kan dermed beskrive forskellige sider af præcis det samme fysiske system.

Motivet har samtidig en tydelig periodisk karakter. De aflange centre gentages hen over fladen med omtrent samme afstand.

Matematisk kan periodicitet beskrives ved eksempelvis:

V(x + L,y) = V(x,y)

hvor L er periodens længde.

Efter en forskydning på L begynder strukturen igen.

Periodiske potentialer er særligt interessante i fysikken, fordi de blandt andet optræder i idealiserede beskrivelser af krystallinske materialer. I en krystal gentages atomernes struktur gennem materialet, og elektronerne oplever derfor et potentiale med en tilsvarende rumlig periodicitet.

Herfra fører matematikken videre til blandt andet bølgefunktioner, Blochs sætning og faste stoffers båndstruktur.

Et tilsyneladende enkelt mønster af gentagne kurver kan derfor forbindes med nogle meget grundlæggende idéer i moderne fysik.

Det er netop denne dobbelthed, Science-kollektionen undersøger.

Man behøver ikke kende ligningerne for at opleve motivet som et harmonisk geometrisk design. Men bag linjerne findes matematiske idéer om felter, gradienter, periodicitet og potentiale.

Badeforhænget er fremstillet i polyesterstof, som giver et blødt og tekstilt fald. Stoffet kan vaskes og stryges.

Hos smuktbad.dk fås badeforhænget i alle størrelser – også skræddersyet efter individuelle mål. Designet er eksklusivt og findes kun hos smuktbad.dk. Du kan desuden vælge rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd.

Højdepunkter

• Inspireret af potentialefelter, niveaukurver og gradienter
• Periodisk geometri med forbindelser til matematik og fysik
• Minimalistisk sort-hvidt Science design

Badeforhængets fordele

• Fås i alle størrelser – også skræddersyet efter mål
• Fremstillet i polyesterstof, som kan vaskes og stryges
• Mulighed for rynkebånd til gardinskinne og tyngdebånd

Et potentialefelt kan ikke ses.

Det eksisterer som værdier fordelt gennem rummet.

Men vælger vi bestemte værdier og tegner de steder, hvor værdien er den samme, opstår linjerne.

Pludselig har det usynlige fået en form.

Det er en af styrkerne ved matematisk visualisering: Tal kan blive til rum, funktioner kan blive til kurver, og naturvidenskabelige principper kan blive til design.